commit 41433b6512c31420cd48acc0c1acda4a3f5adaf9 Author: Tobias Eidelpes Date: Wed Nov 2 10:02:50 2022 +0100 Initial commit diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..d322397 --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,215 @@ +## Core latex/pdflatex auxiliary files: +*.aux +*.lof +*.log +*.lot +*.fls +*.out +*.toc +*.fmt +*.fot +*.cb +*.cb2 +.*.lb + +## Intermediate documents: +*.dvi +*.xdv +*-converted-to.* +# these rules might exclude image files for figures etc. +*.ps +*.eps +*.pdf + +## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" +.pdf + +## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): +*.bbl +*.bcf +*.blg +*-blx.aux +*-blx.bib +*.run.xml + +## Build tool auxiliary files: +*.fdb_latexmk +*.synctex +*.synctex(busy) +*.synctex.gz +*.synctex.gz(busy) +*.pdfsync + +## Build tool directories for auxiliary files +# latexrun +latex.out/ + +## Auxiliary and intermediate files from other packages: +# algorithms +*.alg 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\textbf{Logisch-Philosophische Abhandlung} + \vspace*{1.5cm} + \LARGE + \textbf{Ludwig Wittgenstein} + \end{center} +\end{titlepage} +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "tractatus" +%%% End: diff --git a/tractatus.tex b/tractatus.tex new file mode 100644 index 0000000..135bf34 --- /dev/null +++ b/tractatus.tex @@ -0,0 +1,10836 @@ +\input{preamble} + +\begin{document} + +\input{titlepage} + +\begin{pages} + +\begin{Leftside} +\beginnumbering + +\pstart +\PropositionG{1} +{Die Welt ist alles, was der Fall ist.\footnoteA{Die Decimalzahlen als +Nummern der einzelnen Sätze deuten das logische Gewicht der Sätze an, +den Nachdruck, der auf ihnen in meiner Darstellung liegt\DPtypo{,}{.} +Die Sätze \textit{n}.1, \textit{n}.2, \textit{n}.3, etc., sind +Bemerkungen zum \DPtypo{Sätze}{Satze} No.\;\textit{n}; die Sätze +\textit{n}.\textit{m}1, \textit{n}.\textit{m}2, etc.\ Bemerkungen zum +Satze No.\;\textit{n}.\textit{m}; und so weiter.}} +\pend + +\pstart +\PropositionG{1.1} +{Die Welt ist die Gesamtheit der Tatsachen, +nicht der Dinge.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{1.11} +{Die Welt ist durch die Tatsachen bestimmt und +dadurch, dass es \emph{alle} Tatsachen sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{1.12} +{Denn, die Gesamtheit der Tatsachen bestimmt, +was der Fall ist und auch, was alles nicht der Fall ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{1.13} +{Die Tatsachen im logischen Raum sind die Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{1.2} +{Die Welt zerfällt in Tatsachen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{1.21} +{Eines kann der Fall sein oder nicht der Fall sein +und alles übrige gleich bleiben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2} +{Was der Fall ist, die Tatsache, ist das Bestehen +von Sachverhalten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.01} +{Der Sachverhalt ist eine Verbindung von +Gegenständen. (Sachen, Dingen.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.011} +{Es ist dem Ding wesentlich, der Bestandteil +eines Sachverhaltes sein zu können.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.012} +{In der Logik ist nichts zufällig: Wenn das Ding +im Sachverhalt vorkommen \emph{kann}, so muss die +Möglichkeit des Sachverhaltes im Ding bereits +präjudiziert sein.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0121} +{Es erschiene gleichsam als Zufall, wenn dem +Ding, das allein für sich bestehen könnte, nachträglich +eine Sachlage passen würde. + +Wenn die Dinge in Sachverhalten vorkommen +können, so muss dies schon in ihnen liegen. + +(Etwas Logisches kann nicht nur-möglich sein. +Die Logik handelt von jeder Möglichkeit und alle +Möglichkeiten sind ihre Tatsachen.) + +Wie wir uns räumliche Gegenstände überhaupt +nicht ausserhalb des Raumes, zeitliche nicht ausserhalb +der Zeit denken können, so können wir uns +\emph{keinen} Gegenstand ausserhalb der Möglichkeit +seiner Verbindung mit anderen denken. + +Wenn ich mir den Gegenstand im Verbande +des Sachverhalts denken kann, so kann ich ihn +nicht ausserhalb der \emph{Möglichkeit} dieses Verbandes +denken.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0122} +{Das Ding ist selbständig, insofern es in allen +\emph{möglichen} Sachlagen vorkommen kann, aber +diese Form der Selbständigkeit ist eine Form des +Zusammenhangs mit dem Sachverhalt, eine Form +der Unselbständigkeit. (Es ist unmöglich, dass +Worte in zwei verschiedenen Weisen auftreten, +allein und im Satz.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0123} +{Wenn ich den Gegenstand kenne, so kenne ich +auch sämtliche Möglichkeiten seines Vorkommens +in Sachverhalten. + +(Jede solche Möglichkeit muss in der Natur des +Gegenstandes liegen.) + +Es kann nicht nachträglich eine neue Möglichkeit +gefunden werden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.01231} +{Um einen Gegenstand zu kennen, muss ich zwar +nicht seine externen---aber ich muss alle seine +internen Eigenschaften kennen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0124} +{Sind alle Gegenstände gegeben, so sind damit +auch alle \emph{möglichen} Sachverhalte gegeben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.013} +{Jedes Ding ist, gleichsam, in einem Raume +möglicher Sachverhalte. Diesen Raum kann ich +mir leer denken, nicht aber das Ding ohne den +Raum.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0131} +{Der räumliche Gegenstand muss im unendlichen +Raume liegen. (Der Raumpunkt ist eine Argumentstelle.) + +Der Fleck im Gesichtsfeld muss zwar nicht rot +sein, aber eine Farbe muss er haben: er hat sozusagen +den Farbenraum um sich. Der Ton muss +\emph{eine} Höhe haben, der Gegenstand des Tastsinnes +\emph{eine} Härte usw.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.014} +{Die Gegenstände enthalten die Möglichkeit aller +Sachlagen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0141} +{Die Möglichkeit seines Vorkommens in Sachverhalten, +ist die Form des Gegenstandes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.02} +{Der Gegenstand ist einfach.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0201} +{Jede Aussage über Komplexe lässt sich in eine +Aussage über deren Bestandteile und in diejenigen +Sätze zerlegen, welche die Komplexe vollständig +beschreiben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.021} +{Die Gegenstände bilden die Substanz der Welt. +Darum können sie nicht zusammengesetzt sein.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0211} +{Hätte die Welt keine Substanz, so würde, ob ein +Satz Sinn hat, davon abhängen, ob ein anderer Satz +wahr ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0212} +{Es wäre dann unmöglich, ein Bild der Welt +(wahr oder falsch) zu entwerfen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.022} +{Es ist offenbar, dass auch eine von der wirklichen +noch so verschieden gedachte Welt Etwas---eine +Form---mit der wirklichen gemein haben muss.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.023} +{Diese feste Form besteht eben aus den Gegenständen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0231} +{Die Substanz der Welt \emph{kann} nur eine Form und +keine materiellen Eigenschaften bestimmen. Denn +diese werden erst durch die Sätze dargestellt---erst +durch die Konfiguration der Gegenstände gebildet.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0232} +{Beiläufig gesprochen: Die Gegenstände sind +farblos.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0233} +{Zwei Gegenstände von der gleichen logischen +Form sind---abgesehen von ihren externen Eigenschaften---von +einander nur dadurch unterschieden, +dass sie verschieden sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.02331} +{Entweder ein Ding hat Eigenschaften, die kein +anderes hat, dann kann man es ohneweiteres durch +eine Beschreibung aus den anderen herausheben, +und darauf hinweisen; oder aber, es gibt mehrere +Dinge, die ihre sämtlichen Eigenschaften gemeinsam +haben, dann ist es überhaupt unmöglich auf +eines von ihnen zu zeigen. + +Denn, ist das Ding durch nichts hervorgehoben, +so kann ich es nicht hervorheben, denn sonst ist +es eben hervorgehoben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.024} +{Die Substanz ist das, was unabhängig von dem +was der Fall ist, besteht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.025} +{Sie ist Form und Inhalt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0251} +{Raum, Zeit und Farbe (Färbigkeit) sind Formen +der Gegenstände.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.026} +{Nur wenn es Gegenstände gibt, kann es eine +feste Form der Welt geben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.027} +{Das Feste, das Bestehende und der Gegenstand +sind Eins.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0271} +{Der Gegenstand ist das Feste, Bestehende; die +Konfiguration ist das Wechselnde, Unbeständige.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.0272} +{Die Konfiguration der Gegenstände bildet den +Sachverhalt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.03} +{Im Sachverhalt hängen die Gegenstände ineinander, +wie die Glieder einer Kette.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.031} +{Im Sachverhalt verhalten sich die Gegenstände +in bestimmter Art und Weise zueinander.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.032} +{Die Art und Weise, wie die Gegenstände im +Sachverhalt zusammenhängen, ist die Struktur +des Sachverhaltes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.033} +{Die Form ist die Möglichkeit der Struktur.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.034} +{Die Struktur der Tatsache besteht aus den +Strukturen der Sachverhalte.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.04} +{Die Gesamtheit der bestehenden Sachverhalte +ist die Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.05} +{Die Gesamtheit der bestehenden Sachverhalte +bestimmt auch, welche Sachverhalte nicht bestehen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.06} +{Das Bestehen und Nichtbestehen von Sachverhalten +ist die Wirklichkeit. + +(Das Bestehen von Sachverhalten nennen wir +auch eine positive, das Nichtbestehen eine negative +Tatsache.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.061} +{Die Sachverhalte sind von einander unabhängig.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.062} +{Aus dem Bestehen oder Nichtbestehen eines +Sachverhaltes kann nicht auf das Bestehen oder +Nichtbestehen eines anderen geschlossen werden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.063} +{Die gesamte Wirklichkeit ist die Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.1} +{Wir machen uns Bilder der Tatsachen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.11} +{Das Bild stellt die Sachlage im logischen Raume, +das Bestehen und Nichtbestehen von Sachverhalten +vor.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.12} +{Das Bild ist ein Modell der Wirklichkeit.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.13} +{Den Gegenständen entsprechen im Bilde die +Elemente des Bildes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.131} +{Die Elemente des Bildes vertreten im Bild die +Gegenstände.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.14} +{Das Bild besteht darin, dass sich seine Elemente +in bestimmter Art und Weise zu einander verhalten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.141} +{Das Bild ist eine Tatsache.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.15} +{Dass sich die Elemente des Bildes in bestimmter +Art und Weise zu einander verhalten stellt vor, +dass sich die Sachen so zu einander verhalten. + +Dieser Zusammenhang der Elemente des Bildes +heisse seine Struktur und ihre Möglichkeit seine +Form der Abbildung.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.151} +{Die Form der Abbildung ist die Möglichkeit, +dass sich die Dinge so zu einander verhalten, wie +die Elemente des Bildes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.1511} +{Das Bild ist \emph{so} mit der Wirklichkeit verknüpft; +es reicht bis zu ihr.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.1512} +{Es ist wie ein \DPtypo{Masstab}{Massstab} an die Wirklichkeit +angelegt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.15121} +{Nur die äussersten Punkte der Teilstriche +\emph{berühren} den zu messenden Gegenstand.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.1513} +{Nach dieser Auffassung gehört also zum Bilde +auch noch die abbildende Beziehung, die es zum +Bild macht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.1514} +{Die abbildende Beziehung besteht aus den +Zuordnungen der Elemente des Bildes und der +Sachen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.1515} +{Diese Zuordnungen sind gleichsam die Fühler +der \DPtypo{Bildelmente}{Bildelemente}, mit denen das Bild die Wirklichkeit +berührt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.16} +{Die Tatsache muss um Bild zu sein, etwas mit +dem Abgebildeten gemeinsam haben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.161} +{In Bild und Abgebildetem muss etwas identisch +sein, damit das eine überhaupt ein Bild des anderen +sein kann.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.17} +{Was das Bild mit der Wirklichkeit gemein +haben muss, um sie auf seine Art und Weise---richtig +oder falsch---abbilden zu können, ist seine +Form der Abbildung.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.171} +{Das Bild kann jede Wirklichkeit abbilden, +deren Form es hat. + +Das räumliche Bild alles Räumliche, das farbige +alles Farbige, etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.172} +{Seine Form der Abbildung aber, kann das Bild +nicht abbilden; es weist sie auf.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.173} +{Das Bild stellt sein Objekt von ausserhalb dar +(sein Standpunkt ist seine Form der Darstellung), +darum stellt das Bild sein Objekt richtig oder +falsch dar.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.174} +{Das Bild kann sich aber nicht ausserhalb seiner +Form der Darstellung stellen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.18} +{Was jedes Bild, welcher Form immer, mit der +Wirklichkeit gemein haben muss, um sie überhaupt---richtig +oder falsch---ab\-bil\-den zu können, +ist die logische Form, das ist, die Form der +Wirklichkeit.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.181} +{Ist die Form der Abbildung die logische Form, +so heisst das Bild das logische Bild.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.182} +{Jedes Bild ist \emph{auch} ein logisches. (Dagegen +ist z. B. nicht jedes Bild ein räumliches.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.19} +{Das logische Bild kann die Welt abbilden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.2} +{Das Bild hat mit dem Abgebildeten die logische +Form der Abbildung gemein.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.201} +{Das Bild bildet die Wirklichkeit ab, indem es +eine Möglichkeit des Bestehens und Nichtbestehens +von Sachverhalten darstellt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.202} +{Das Bild stellt eine mögliche Sachlage im +logischen Raume dar.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.203} +{Das Bild enthält die Möglichkeit der Sachlage, +die es darstellt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.21} +{Das Bild stimmt mit der Wirklichkeit überein +oder nicht; es ist richtig oder unrichtig, wahr +oder falsch.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.22} +{ +Das Bild stellt dar, was es darstellt, unabhängig +von seiner Wahr- oder Falschheit, durch die Form +der Abbildung.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.221} +{Was das Bild darstellt, ist sein Sinn.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.222} +{In der Übereinstimmung oder Nichtübereinstimmung +seines Sinnes mit der Wirklichkeit, +besteht seine Wahrheit oder Falschheit.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.223} +{Um zu erkennen, ob das Bild wahr oder falsch +ist, müssen wir es mit der Wirklichkeit vergleichen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.224} +{Aus dem Bild allein ist nicht zu erkennen, ob +es wahr oder falsch ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{2.225} +{Ein a priori wahres Bild gibt es nicht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3} +{Das logische Bild der Tatsachen ist der +Gedanke.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.001} +{\glqq{}Ein Sachverhalt ist denkbar\grqq{} heisst: Wir +können uns ein Bild von ihm machen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.01} +{Die Gesamtheit der wahren Gedanken sind +ein Bild der Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.02} +{Der Gedanke enthält die Möglichkeit der +Sachlage die er denkt. Was denkbar ist, ist +auch möglich.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.03} +{Wir können nichts Unlogisches denken, weil +wir sonst unlogisch denken müssten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.031} +{Man sagte einmal, dass Gott alles schaffen könne, nur nichts, was den +logischen Gesetzen zuwider wäre.---Wir könnten nämlich von einer +\glqq{}unlogischen\grqq{} Welt nicht \emph{sagen}, wie sie aussähe.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.032} +{Etwas \glqq{}der Logik widersprechendes\grqq{} in der +Sprache darstellen, kann man ebensowenig, wie +in der Geometrie eine den Gesetzen des Raumes +widersprechende Figur durch ihre Koordinaten +darstellen; oder die Koordinaten eines Punktes +angeben, welcher nicht existiert.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.0321} +{Wohl können wir einen Sachverhalt räumlich +darstellen, welcher den Gesetzen der Physik, +aber keinen, der den Gesetzen der Geometrie +zuwiderliefe.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.04} +{Ein a priori richtiger Gedanke wäre ein solcher, +dessen Möglichkeit seine Wahrheit bedingte.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.05} +{Nur so könnten wir a priori wissen, dass ein +Gedanke wahr ist, wenn aus dem Gedanken +selbst (ohne Vergleichsobjekt) seine Wahrheit +zu erkennen wäre.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.1} +{Im Satz drückt sich der Gedanke sinnlich +wahrnehmbar aus.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.11} +{ +Wir benützen das sinnlich wahrnehmbare +Zeichen (Laut- oder Schriftzeichen etc.) des Satzes +als Projektion der möglichen Sachlage. + +Die Projektionsmethode ist das Denken des +Satz-Sinnes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.12} +{Das Zeichen, durch welches wir den Gedanken +ausdrücken, nenne ich das Satzzeichen. Und der +Satz ist das Satzzeichen in seiner projektiven +Beziehung zur Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.13} +{Zum Satz gehört alles, was zur Projektion +gehört; aber nicht das Projizierte. + +Also die Möglichkeit des Projizierten, aber nicht +dieses selbst. + +Im Satz ist also sein Sinn noch nicht enthalten, +wohl aber die Möglichkeit ihn auszudrücken. + +(\glqq{}Der Inhalt des Satzes\grqq{} heisst der Inhalt des +sinnvollen Satzes.) + +Im Satz ist die Form seines Sinnes enthalten, +aber nicht dessen Inhalt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.14} +{Das Satzzeichen besteht darin, dass sich seine +Elemente, die Wörter, in ihm auf bestimmte Art +und Weise zu einander verhalten. + +Das Satzzeichen ist eine Tatsache.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.141} +{Der Satz ist kein Wörtergemisch.---(Wie +das musikalische Thema kein Gemisch von +Tönen.) + +Der Satz ist artikuliert.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.142} +{Nur Tatsachen können einen Sinn ausdrücken, +eine Klasse von Namen kann es nicht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.143} +{Dass das Satzzeichen eine Tatsache ist, wird +durch die gewöhnliche Ausdrucksform der Schrift +oder des Druckes verschleiert. + +Denn im gedruckten Satz z. B.\ sieht das Satzzeichen +nicht wesentlich verschieden aus vom +Wort. + +(So war es möglich, dass Frege den Satz einen +zusammengesetzten Namen nannte.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.1431} +{Sehr klar wird das Wesen des Satzzeichens, +wenn wir es uns, statt aus Schriftzeichen, aus +räumlichen Gegenständen (etwa Tischen, Stühlen, +Büchern) zusammengesetzt denken. + +Die gegenseitige räumliche Lage dieser Dinge +drückt dann den Sinn des Satzes aus.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.1432} +{Nicht: \glqq{}Das komplexe Zeichen \glq{}$aRb$\grq{} sagt, dass $a$ +in der Beziehung $R$ zu $b$ steht\grqq{}, sondern: \emph{Dass} +\glqq{}$a$\grqq{} in einer gewissen Beziehung zu \glqq{}$b$\grqq{} +steht, sagt, \emph{dass} $aRb$.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.144} +{Sachlagen kann man beschreiben, nicht \emph{benennen}. + +(Namen gleichen Punkten, Sätze Pfeilen, sie +haben Sinn.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.2} +{Im Satze kann der Gedanke so ausgedrückt sein, +dass den Gegenständen des Gedankens Elemente +des Satzzeichens entsprechen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.201} +{Diese Elemente nenne ich \glqq{}einfache Zeichen\grqq{} +und den Satz \glqq{}vollständig analysiert\grqq{}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.202} +{Die im Satze angewandten einfachen Zeichen +heissen Namen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.203} +{Der Name bedeutet den Gegenstand. Der +Gegenstand ist seine Bedeutung. (\glqq{}$A$\grqq{} ist dasselbe +Zeichen wie \glqq{}$A$\grqq{}.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.21} +{Der Konfiguration der einfachen Zeichen im +Satzzeichen entspricht die Konfiguration der Gegenstände +in der Sachlage.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.22} +{Der Name vertritt im Satz den Gegenstand.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.221} +{Die Gegenstände kann ich nur \emph{nennen}. Zeichen +vertreten sie. Ich kann nur \emph{von} ihnen sprechen, +\emph{sie aussprechen} kann ich nicht. Ein Satz +kann nur sagen, \emph{wie} ein Ding ist, nicht \emph{was} es ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.23} +{Die Forderung der Möglichkeit der einfachen +Zeichen ist die Forderung der Bestimmtheit des +Sinnes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.24} +{Der Satz, welcher vom Komplex handelt, steht in interner Beziehung +zum Satze, der von dessen Bestandteil handelt. + +Der Komplex kann nur durch seine Beschreibung gegeben sein, und diese +wird stimmen oder nicht stimmen. Der Satz, in welchem von einem +Komplex die Rede ist, wird, wenn dieser nicht existiert, nicht +unsinnig, sondern einfach falsch sein. + +Dass ein Satzelement einen Komplex bezeichnet, kann man aus einer +Unbestimmtheit in den Sätzen sehen, worin es vorkommt. Wir +\emph{wissen}, durch diesen Satz ist noch nicht alles bestimmt. (Die +Allgemeinheitsbezeichnung \emph{enthält} ja ein Urbild.) + +Die Zusammenfassung des Symbols eines Komplexes in ein einfaches +Symbol kann durch eine Definition ausgedrückt werden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.25} +{Es gibt eine und nur eine vollständige Analyse +des Satzes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.251} +{Der Satz drückt auf bestimmte, klar angebbare +Weise aus, was er ausdrückt: Der Satz ist artikuliert.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.26} +{Der \DPtypo{name}{Name} ist durch keine Definition weiter zu +zergliedern: er ist ein Urzeichen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.261} +{Jedes definierte Zeichen bezeichnet \emph{über} jene +Zeichen, durch welche es definiert wurde; und die +Definitionen weisen den Weg. + +Zwei Zeichen, ein Urzeichen, und ein durch +Urzeichen definiertes, können nicht auf dieselbe +Art und Weise bezeichnen. Namen \emph{kann} man +nicht durch Definitionen auseinanderlegen. (Kein +Zeichen, welches allein, selbständig eine Bedeutung +hat.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.262} +{Was in den Zeichen nicht zum Ausdruck kommt, +das zeigt ihre Anwendung. Was die Zeichen +verschlucken, das spricht ihre Anwendung aus.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.263} +{Die Bedeutungen von Urzeichen können durch +Erläuterungen erklärt werden. Erläuterungen +sind Sätze, welche die Urzeichen enthalten. Sie +können also nur verstanden werden, wenn die +Bedeutungen dieser Zeichen bereits bekannt sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.3} +{Nur der Satz hat Sinn; nur im Zusammenhange +des Satzes hat ein Name Bedeutung.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.31} +{Jeden Teil des Satzes, der seinen Sinn charakterisiert, +nenne ich einen Ausdruck (ein Symbol). + +(Der Satz selbst ist ein Ausdruck.) + +Ausdruck ist alles, für den Sinn des Satzes +wesentliche, was Sätze miteinander gemein haben +können. + +Der Ausdruck kennzeichnet eine Form und +einen Inhalt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.311} +{Der Ausdruck setzt die Formen aller Sätze +voraus, in welchen er vorkommen kann. Er ist +das gemeinsame charakteristische Merkmal einer +Klasse von Sätzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.312} +{Er wird also dargestellt durch die allgemeine +Form der Sätze, die er charakterisiert. + +Und zwar wird in dieser Form der Ausdruck +\emph{konstant} und alles übrige \emph{variabel} sein.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.313} +{Der Ausdruck wird also durch eine Variable +dargestellt, deren Werte die Sätze sind, die den +Ausdruck enthalten. + +(Im Grenzfall wird die Variable zur Konstanten, +der Ausdruck zum Satz.) + +Ich nenne eine solche Variable \glqq{}Satzvariable\grqq{}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.314} +{Der Ausdruck hat nur im Satz Bedeutung. +Jede Variable lässt sich als Satzvariable auffassen. + +(Auch der variable Name.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.315} +{Verwandeln wir einen Bestandteil eines Satzes +in eine Variable, so gibt es eine Klasse von Sätzen, +welche sämtlich Werte des so entstandenen variablen +Satzes sind. Diese Klasse hängt im allgemeinen +noch davon ab, was wir, nach willkürlicher +Übereinkunft, mit Teilen jenes Satzes meinen. +Verwandeln wir aber alle jene Zeichen, deren +Bedeutung willkürlich bestimmt wurde, in Variable, +so gibt es nun noch immer eine solche Klasse. +Diese aber ist nun von keiner Übereinkunft +abhängig, sondern nur noch von der Natur des +Satzes. Sie entspricht einer logischen Form---einem +logischen Urbild.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.316} +{Welche Werte die Satzvariable annehmen darf, +wird festgesetzt. + +Die Festsetzung der Werte \emph{ist} die Variable.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.317} +{Die Festsetzung der Werte der Satzvariablen +ist die \emph{Angabe der Sätze}, deren gemeinsames +Merkmal die Variable ist. + +Die Festsetzung ist eine Beschreibung dieser +Sätze. + +Die Festsetzung wird also nur von Symbolen, +nicht von deren Bedeutung handeln. + +Und \emph{nur} dies ist der Festsetzung wesentlich, +\emph{dass sie nur eine Beschreibung von +Symbolen ist und nichts über das Bezeichnete +aussagt}. + +Wie die Beschreibung der Sätze geschieht, ist +unwesentlich.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.318} +{Den Satz fasse ich---wie Frege und Russell---als +Funktion der in ihm enthaltenen Ausdrücke auf.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.32} +{Das Zeichen ist das sinnlich Wahrnehmbare am +Symbol.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.321} +{Zwei verschiedene Symbole können also das +Zeichen (Schriftzeichen oder Lautzeichen etc.) +miteinander gemein haben---sie bezeichnen dann +auf verschiedene Art und Weise.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.322} +{Es kann nie das gemeinsame Merkmal zweier +Gegenstände anzeigen, dass wir sie mit demselben +Zeichen, aber durch zwei verschiedene \emph{Bezeichnungsweisen} +bezeichnen. Denn das Zeichen +ist ja willkürlich. Man könnte also auch zwei verschiedene +Zeichen wählen, und wo bliebe dann das +Gemeinsame in der Bezeichnung.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.323} +{In der Umgangssprache kommt es ungemein +häufig vor, dass dasselbe Wort auf verschiedene +Art und Weise bezeichnet---also verschiedenen +Symbolen an\-ge\-hört---, oder, dass zwei Wörter, +die auf verschiedene Art und Weise bezeichnen, +äusserlich in der gleichen Weise im Satze angewandt +werden. + +So erscheint das Wort \glqq{}ist\grqq{} als Kopula, als +Gleichheitszeichen und als Ausdruck der Existenz; +\glqq{}existieren\grqq{} als intransitives Zeitwort wie \glqq{}gehen\grqq{}; +\glqq{}identisch\grqq{} als Eigenschaftswort; wir reden von +\emph{Etwas}, aber auch davon, dass \emph{etwas} geschieht. + +(Im Satze \glqq{}Grün ist grün\grqq{}---wo das erste Wort +ein Personenname, das letzte ein Eigenschaftswort +ist---haben diese Worte nicht einfach verschiedene +Bedeutung, sondern es sind \emph{verschiedene +Symbole}.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.324} +{So entstehen leicht die fundamentalsten Verwechslungen +(deren die ganze Philosophie voll +ist).} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.325} +{Um diesen Irrtümern zu entgehen, müssen +wir eine Zeichensprache verwenden, welche sie +ausschliesst, indem sie nicht das gleiche Zeichen +in verschiedenen Symbolen, und Zeichen, welche +auf verschiedene Art bezeichnen, nicht äusserlich +auf die gleiche Art verwendet. Eine Zeichensprache +also, die der \emph{logischen} Grammatik---der logischen +Syntax---gehorcht. + +(Die Begriffsschrift Frege's und Russell's ist +eine solche Sprache, die allerdings noch nicht alle +Fehler ausschliesst.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.326} +{Um das Symbol am Zeichen zu erkennen, muss +man auf den sinnvollen Gebrauch achten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.327} +{Das Zeichen bestimmt erst mit seiner logisch-syntaktischen +Verwendung zusammen eine logische +Form.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.328} +{Wird ein Zeichen \emph{nicht gebraucht}, so ist +es bedeutungslos. Das ist der Sinn der Devise +Occams. + +(Wenn sich alles so verhält als hätte ein Zeichen +Bedeutung, dann hat es auch Bedeutung.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.33} +{In der logischen Syntax darf nie die Bedeutung +eines Zeichens eine Rolle spielen; sie muss sich +aufstellen lassen, ohne dass dabei von der \emph{Bedeutung} +eines Zeichens die Rede wäre, sie darf \emph{nur} +die Beschreibung der Ausdrücke voraussetzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.331} +{Von dieser Bemerkung sehen wir in Russell's +\glqq{}Theory of types\grqq{} hinüber: Der Irrtum Russell's +zeigt sich darin, dass er bei der Aufstellung der +Zeichenregeln von der Bedeutung der Zeichen +reden musste.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.332} +{Kein Satz kann etwas über sich selbst aussagen, +weil das Satzzeichen nicht in sich selbst enthalten +sein kann, (das ist die ganze \glqq{}Theory of types\grqq{}).} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.333} +{Eine Funktion kann darum nicht ihr eigenes +Argument sein, weil das Funktionszeichen bereits +das Urbild seines Arguments enthält und es sich +nicht selbst enthalten kann. + +Nehmen wir nämlich an, die Funktion $F (fx)$ +könnte ihr eigenes Argument sein; dann gäbe es +also einen Satz: \glqq{}$F(F(fx))$\grqq{} und in diesem müssen +die äussere Funktion $F$ und die innere Funktion $F$ +verschiedene Bedeutungen haben, denn die innere +hat die Form $\phi(fx)$, die äussere, die Form $\psi(\phi(fx))$. +Gemeinsam ist den beiden Funktionen nur der +Buchstabe \glqq{}$F$\grqq{}, der aber allein nichts bezeichnet. + +Dies wird sofort klar, wenn wir statt \glqq{}$F(F(u))$\grqq{} +schreiben \glqq{}$(\exists\phi) : F(\phi u) \DotOp \phi u = Fu$\grqq{}. + +Hiermit erledigt sich Russell's Paradox.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.334} +{Die Regeln der logischen Syntax müssen sich +von selbst verstehen, wenn man nur weiss, wie +ein jedes Zeichen bezeichnet.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.34} +{Der Satz besitzt wesentliche und zufällige Züge. + +Zufällig sind die Züge, die von der besonderen +Art der Hervorbringung des Satzzeichens herrühren. +Wesentlich diejenigen, welche allein den Satz befähigen, +seinen Sinn auszudrücken.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.341} +{Das Wesentliche am Satz ist also das, was allen +Sätzen, welche den gleichen Sinn ausdrücken +können, gemeinsam ist. + +Und ebenso ist allgemein das Wesentliche am +Symbol das, was alle Symbole, die denselben +Zweck erfüllen können, gemeinsam haben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.3411} +{Man könnte also sagen: Der eigentliche Name +ist das, was alle Symbole, die den Gegenstand +bezeichnen, gemeinsam haben. Es würde sich so +successive ergeben, dass keinerlei Zusammensetzung +für den Namen wesentlich ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.342} +{An unseren Notationen ist zwar etwas willkürlich, +aber \emph{das} ist nicht willkürlich: Dass, \emph{wenn} wir +etwas willkürlich bestimmt haben, dann etwas +anderes der Fall sein muss. (Dies hängt von dem +\emph{Wesen} der Notation ab.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.3421} +{ +Eine besondere Bezeichnungsweise mag unwichtig +sein, aber wichtig ist es immer, dass diese +eine \emph{mögliche} Bezeichnungsweise ist. Und so +verhält es sich in der Philosophie überhaupt: Das +Einzelne erweist sich immer wieder als unwichtig, +aber die Möglichkeit jedes Einzelnen gibt uns +einen Aufschluss über das Wesen der Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.343} +{Definitionen sind Regeln der Übersetzung von +einer Sprache in eine andere. Jede richtige Zeichensprache +muss sich in jede andere nach solchen +Regeln übersetzen lassen: \emph{Dies} ist, was sie alle +gemeinsam haben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.344} +{Das, was am Symbol bezeichnet, ist das Gemeinsame +aller jener Symbole, durch die das erste den +Regeln der logischen Syntax zufolge ersetzt werden +kann.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.3441} +{Man kann z. B.\ das Gemeinsame aller Notationen +für die Wahrheitsfunktionen so ausdrücken: Es ist +ihnen gemeinsam, dass sich alle---z. B.---durch die +Notation von \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} (\glqq{}nicht $p$\grqq{}) und \glqq{}$p \lor q$\grqq{} (\glqq{}$p$ oder $q$\grqq{}) +\emph{ersetzen lassen}. + +(Hiermit ist die Art und Weise gekennzeichnet, +wie eine spezielle mögliche Notation uns allgemeine +Aufschlüsse geben kann.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.3442} +{Das Zeichen des Komplexes löst sich auch bei +der Analyse nicht willkürlich auf, so dass etwa seine +Auflösung in jedem Satzgefüge eine andere wäre.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.4} +{Der Satz bestimmt einen Ort im logischen Raum. +Die Existenz dieses logischen Ortes ist durch die +Existenz der Bestandteile allein verbürgt, durch die +Existenz des sinnvollen Satzes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.41} +{Das Satzzeichen und die logischen Koordinaten: +Das ist der logische Ort.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.411} +{Der geometrische und der logische Ort stimmen +darin überein, dass beide die Möglichkeit einer +Existenz sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.42} +{Obwohl der Satz nur einen Ort des logischen +Raumes bestimmen darf, so muss doch durch +ihn schon der ganze logische Raum gegeben +sein. + +(Sonst würden durch die Verneinung, die logische +Summe, das logische Produkt, etc.\ immer neue +Elemente---in Ko\-or\-di\-na\-ti\-on---eingeführt.) + +(Das logische Gerüst um das Bild herum bestimmt +den logischen Raum. Der Satz durchgreift den +ganzen logischen Raum.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{3.5} +{Das angewandte, gedachte, Satzzeichen ist der +Gedanke.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4} +{Der Gedanke ist der sinnvolle Satz.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.001} +{Die Gesamtheit der Sätze ist die Sprache.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.002} +{Der Mensch besitzt die Fähigkeit Sprachen zu +bauen, womit sich jeder Sinn ausdrücken lässt, +ohne eine Ahnung davon zu haben, wie und was +jedes Wort bedeutet.---Wie man auch spricht, ohne +zu wissen, wie die einzelnen Laute hervorgebracht +werden. + +Die Umgangssprache ist ein Teil des menschlichen +Organismus und nicht weniger kompliziert als +dieser. + +Es ist menschenunmöglich, die Sprachlogik aus +ihr unmittelbar zu entnehmen. + +Die Sprache verkleidet den Gedanken. Und +zwar so, dass man nach der äusseren Form des +Kleides, nicht auf die Form des bekleideten Gedankens +schliessen kann; weil die äussere Form des +Kleides nach ganz anderen Zwecken gebildet ist, als +danach, die Form des Körpers erkennen zu lassen. + +Die stillschweigenden Abmachungen zum Verständnis +der Umgangssprache sind enorm kompliziert.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.003} +{Die meisten Sätze und Fragen, welche über +philosophische Dinge geschrieben worden sind, sind +nicht falsch, sondern unsinnig. Wir können daher +Fragen dieser Art überhaupt nicht beantworten, +sondern nur ihre Unsinnigkeit feststellen. Die +meisten Fragen und Sätze der Philosophen beruhen +darauf, \DPtypo{das}{dass} wir unsere Sprachlogik nicht verstehen. + +(Sie sind von der Art der Frage, ob das Gute +mehr oder weniger identisch sei als das Schöne.) + +Und es ist nicht verwunderlich, dass die tiefsten +Probleme eigentlich \emph{keine} Probleme sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.0031} +{Alle Philosophie ist \glqq{}Sprachkritik\grqq{}. (Allerdings +nicht im Sinne Mauthners.) Russell's Verdienst ist +es, gezeigt zu haben, dass die scheinbare logische +Form des Satzes nicht seine wirkliche sein muss.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.01} +{Der Satz ist ein Bild der Wirklichkeit. + +Der Satz ist ein Modell der Wirklichkeit, so wie +wir sie uns denken.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.011} +{Auf den ersten Blick scheint der Satz---wie er +etwa auf dem Papier gedruckt steht---kein Bild der +Wirklichkeit zu sein, von der er handelt. Aber +auch die Notenschrift scheint auf den ers\-ten Blick +kein Bild der Musik zu sein, und unsere Lautzeichen-\mbox{(Buchstaben-)} Schrift +kein Bild unserer Lautsprache. + +Und doch erweisen sich diese Zeichensprachen +auch im gewöhnlichen Sinne als Bilder dessen, was +sie darstellen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.012} +{Offenbar ist, dass wir einen Satz von der Form +\glqq{}$aRb$\grqq{} als Bild empfinden. Hier ist das Zeichen +offenbar ein Gleichnis des Bezeichneten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.013} +{Und wenn wir in das Wesentliche dieser Bildhaftigkeit +eindringen, so sehen wir, dass dieselbe +durch \emph{scheinbare Unregelmässigkeiten} +(wie die Verwendung der $\sharp$ und $\flat$ in der Notenschrift) +\emph{nicht} gestört wird. + +Denn auch diese Unregelmässigkeiten bilden +das ab, was sie ausdrücken sollen; nur auf eine +andere Art und Weise.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.014} +{Die Grammophonplatte, der musikalische Gedanke, +die Notenschrift, die Schallwellen, stehen +alle in jener abbildenden internen Beziehung zu +einander, die zwischen Sprache und Welt besteht. + +Ihnen allen ist der logische Bau gemeinsam. + +(Wie im Märchen die zwei Jünglinge, ihre zwei +Pferde und ihre Lilien. Sie sind alle in gewissem +Sinne Eins.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.0141} +{Dass es eine allgemeine Regel gibt, durch die +der Musiker aus der Partitur die Symphonie +entnehmen kann, durch welche man aus der Linie +auf der Grammophonplatte die Symphonie und +nach der ersten Regel wieder die Partitur ableiten +kann, darin besteht eben die innere Ähnlichkeit +dieser scheinbar so ganz verschiedenen Gebilde. +Und jene Regel ist das Gesetz der Projektion, +welches die Symphonie in die Notensprache projiziert. +Sie ist die Regel der Übersetzung der +Notensprache in die Sprache der Grammophonplatte.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.015} +{Die Möglichkeit aller Gleichnisse, der ganzen +Bildhaftigkeit unserer Ausdrucksweise, ruht in der +Logik der Abbildung.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.016} +{Um das Wesen des Satzes zu verstehen, denken +wir an die Hieroglyphenschrift, welche die Tatsachen +die sie beschreibt abbildet. + +Und aus ihr wurde die Buchstabenschrift, ohne +das Wesentliche der Abbildung zu verlieren.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.02} +{Dies sehen wir daraus, dass wir den Sinn des +Satzzeichens verstehen, ohne dass er uns erklärt +wurde.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.021} +{Der Satz ist ein Bild der Wirklichkeit: Denn +ich kenne die von ihm dargestellte Sachlage, wenn +ich den Satz verstehe. Und den Satz verstehe ich, +ohne dass mir sein Sinn erklärt wurde.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.022} +{Der Satz \emph{zeigt} seinen Sinn. + +Der Satz \emph{zeigt}, wie es sich verhält, \emph{wenn} er +wahr ist. Und er \emph{sagt}, \emph{dass} es sich so verhält.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.023} +{\DPtypo{Der}{Die} Wirklichkeit muss durch den Satz auf ja +oder nein fixiert sein. + +Dazu muss sie durch ihn vollständig beschrieben +werden. + +Der Satz ist die Beschreibung eines Sachverhaltes. + +Wie die Beschreibung einen Gegenstand nach +seinen externen Eigenschaften, so beschreibt der +Satz die Wirklichkeit nach ihren internen Eigenschaften. + +Der Satz konstruiert eine Welt mit Hilfe eines +logischen Gerüstes und darum kann man am Satz +auch sehen, wie sich alles Logische verhält, \emph{wenn} +er wahr ist. Man kann aus einem falschen Satz +\emph{Schlüsse ziehen}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.024} +{Einen Satz verstehen, heisst, wissen was der +Fall ist, wenn er wahr ist. + +(Man kann ihn also verstehen, ohne zu wissen, +ob er wahr ist.) + +Man versteht ihn, wenn man seine Bestandteile +versteht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.025} +{Die Übersetzung einer Sprache in eine andere +geht nicht so vor sich, dass man jeden \emph{Satz} der +einen in einen \emph{Satz} der anderen übersetzt, sondern +nur die Satzbestandteile werden übersetzt. + +(Und das Wörterbuch übersetzt nicht nur +Substantiva, sondern auch \mbox{Zeit-,} Eigenschafts- und +Bindewörter etc.; und es behandelt sie alle gleich.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.026} +{Die Bedeutungen der einfachen Zeichen (der +Wörter) müssen uns erklärt werden, dass wir sie +verstehen. + +Mit den Sätzen aber verständigen wir uns.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.027} +{Es liegt im Wesen des Satzes, dass er uns einen +\emph{neuen} Sinn mitteilen kann.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.03} +{Ein Satz muss mit alten Ausdrücken einen +neuen Sinn mitteilen. + +Der Satz teilt uns eine Sachlage mit, also +muss er \emph{wesentlich} mit der Sachlage zusammenhängen. + +Und der Zusammenhang ist eben, dass er ihr +logisches Bild ist. + +Der Satz sagt nur insoweit etwas aus, als er ein +Bild ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.031} +{Im Satz wird gleichsam eine Sachlage probeweise +zusammengestellt. + +Man kann geradezu sagen: statt, dieser Satz +hat diesen und diesen Sinn; dieser Satz stellt diese +und diese Sachlage dar.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.0311} +{Ein Name steht für ein Ding, ein anderer für +ein anderes Ding und untereinander sind sie +verbunden, so stellt das Ganze---wie ein lebendes +Bild---den Sachverhalt vor.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.0312} +{Die Möglichkeit des Satzes beruht auf dem +Prinzip der Vertretung von Gegenständen durch +Zeichen. + +Mein Grundgedanke ist, dass die \glqq{}logischen +Konstanten\grqq{} nicht vertreten. Dass sich die \emph{Logik} +der Tatsachen nicht vertreten lässt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.032} +{Nur insoweit ist der Satz ein Bild einer Sachlage, +als er logisch gegliedert ist. + +(Auch der Satz \glqq{}ambulo\grqq{} ist zusammengesetzt, +denn sein Stamm ergibt mit einer anderen Endung +und seine Endung mit einem anderen Stamm, einen +anderen Sinn.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.04} +{Am Satz muss gerade soviel zu unterscheiden +sein, als an der Sachlage die er darstellt. + +Die beiden müssen die gleiche logische (mathematische) +Mannigfaltigkeit besitzen. (Vergleiche +Hertz's Mechanik, über Dynamische Modelle.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.041} +{Diese mathematische Mannigfaltigkeit kann +man natürlich nicht selbst wieder abbilden. Aus +ihr kann man beim Abbilden nicht heraus.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.0411} +{Wollten wir z. B.\ das, was wir durch \glqq{}$(x) fx$\grqq{} +ausdrücken, durch Vorsetzen eines Indexes vor +\glqq{}$fx$\grqq{} ausdrücken---etwa so: \glqq{}Alg. $fx$\grqq{}, es würde +nicht genügen---wir wüssten nicht, was verallgemeinert +wurde. Wollten wir es durch einen +Index \glqq{}$a$\grqq{} anzeigen---etwa so: \glqq{}$f(x_{a}$)\grqq{}---es würde +auch nicht genügen---wir wüssten nicht den +Bereich der Allgemeinheitsbezeichnung. + +Wollten wir es durch Einführung einer Marke +in die Argumentstellen ver\-su\-chen---etwa so: +\glqq{}$(A, A) \DotOp F (A, A)$\grqq{}---es würde nicht ge\-nü\-gen---wir +könnten die Identität der Variablen nicht feststellen. +U.s.w. + +Alle diese Bezeichnungsweisen genügen nicht, +weil sie nicht die notwendige mathematische +Mannigfaltigkeit haben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.0412} +{Aus demselben Grunde genügt die idealistische +Erklärung des Sehens der räumlichen Beziehungen +durch die \glqq{}Raumbrille\grqq{} nicht, weil sie nicht die +Mannigfaltigkeit dieser Beziehungen erklären kann.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.05} +{Die Wirklichkeit wird mit dem Satz verglichen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.06} +{Nur dadurch kann der Satz wahr oder falsch +sein, indem er ein Bild der Wirklichkeit ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.061} +{Beachtet man nicht, dass der Satz einen von +den Tatsachen unabhängigen Sinn hat, so kann +man leicht glauben, dass wahr und falsch gleichberechtigte +Beziehungen von Zeichen und Bezeichnetem +sind. + +Man könnte dann z. B.\ sagen, dass \glqq{}$p$\grqq{} auf die +wahre Art bezeichnet, was \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} auf die falsche +Art, etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.062} +{Kann man sich nicht mit falschen Sätzen, wie +bisher mit wahren, verständigen? Solange man +nur weiss, dass sie falsch gemeint sind. Nein! +Denn, wahr ist ein Satz, wenn es sich so verhält, +wie wir es durch ihn sagen; und wenn wir mit +\glqq{}$p$\grqq{} $\Not{p}$ meinen, und es sich so verhält wie wir es +meinen, so ist \glqq{}$p$\grqq{} in der neuen Auffassung wahr +und nicht falsch.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.0621} +{Dass aber die Zeichen \glqq{}$p$\grqq{} und \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} das gleiche +sagen \emph{können}, ist wichtig. Denn es zeigt, dass +dem Zeichen \glqq{}$\Not{}$\grqq{} in der Wirklichkeit nichts +entspricht. + +Dass in einem Satz die Verneinung vorkommt, +ist noch kein Merkmal seines Sinnes ($\Not{\Not{p}} = p$). + +Die Sätze \glqq{}$p$\grqq{} und \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} haben entgegengesetzten +Sinn, aber es entspricht ihnen eine und +dieselbe Wirklichkeit.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.063} +{Ein Bild zur Erklärung des Wahrheitsbegriffes: +Schwarzer Fleck auf weissem Papier; die Form +des Fleckes kann man beschreiben, indem man +für jeden Punkt der Fläche angibt, ob er weiss +oder schwarz ist. Der Tatsache, dass ein Punkt +schwarz ist, entspricht eine positive---der, dass +ein Punkt weiss (nicht schwarz) ist, eine negative +Tatsache. Bezeichne ich einen Punkt der Fläche +(einen Frege'schen Wahrheitswert), so entspricht +dies der Annahme, die zur Beurteilung aufgestellt +wird, etc.\ etc. + +Um aber sagen zu können, ein Punkt sei +schwarz oder weiss, muss ich vorerst wissen, +wann man einen Punkt schwarz und wann +man ihn weiss nennt; um sagen zu können: +\glqq{}$p$\grqq{} ist wahr (oder falsch), muss ich bestimmt +haben, unter welchen Umständen ich \glqq{}$p$\grqq{} wahr +nenne, und damit bestimme ich den Sinn des +Satzes. + +Der Punkt an dem das Gleichnis hinkt ist +nun der: Wir können auf einen Punkt des Papiers +zeigen, auch ohne zu wissen, was weiss und +schwarz ist; einem Satz ohne Sinn aber entspricht +gar nichts, denn er bezeichnet kein Ding (Wahrheitswert) +dessen Eigenschaften etwa \glqq{}falsch\grqq{} oder +\glqq{}wahr\grqq{} hiessen; das Verbum eines Satzes ist nicht +\glqq{}ist wahr\grqq{} oder \glqq{}ist falsch\grqq{}---wie Frege glaubte---, +sondern das, was \glqq{}wahr ist\grqq{} muss das Verbum +schon enthalten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.064} +{Jeder Satz muss \emph{schon} einen Sinn haben; +die Bejahung kann ihn ihm nicht geben, denn +sie bejaht ja gerade den Sinn. Und dasselbe gilt +von der Verneinung, etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.0641} +{Man könnte sagen: Die Verneinung bezieht +sich schon auf den logischen Ort, den der verneinte +Satz bestimmt. + +Der verneinende Satz bestimmt einen \emph{anderen} +logischen Ort als der verneinte. + +Der verneinende Satz bestimmt einen logischen +Ort mit Hilfe des logischen Ortes des verneinten +Satzes, indem er jenen ausserhalb diesem liegend +beschreibt. + +Dass man den verneinten Satz wieder verneinen +kann, zeigt schon, dass das, was verneint wird, +schon ein Satz und nicht erst die Vorbereitung +zu einem Satze ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1} +{Der Satz stellt das Bestehen und Nichtbestehen +der Sachverhalte dar.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.11} +{Die Gesamtheit der wahren Sätze ist die +gesamte Naturwissenschaft (oder die Gesamtheit +der Naturwissenschaften).} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.111} +{Die Philosophie ist keine der Naturwissenschaften. + +(Das Wort \glqq{}Philosophie\grqq{} muss etwas bedeuten, +was über oder unter, aber nicht neben den Naturwissenschaften +steht.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.112} +{Der Zweck der Philosophie ist die logische +Klärung der Gedanken. + +Die Philosophie ist keine Lehre, sondern eine +Tätigkeit. + +Ein philosophisches Werk besteht wesentlich +aus Erläuterungen. + +Das Resultat der Philosophie sind nicht \glqq{}philosophische +Sätze\grqq{}, sondern das Klarwerden von +Sätzen. + +Die Philosophie soll die Gedanken, die sonst, +gleichsam, trübe und verschwommen sind, klar +machen und scharf abgrenzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1121} +{Die Psychologie ist der Philosophie nicht verwandter +als irgend eine andere Naturwissenschaft. + +Erkenntnistheorie ist die Philosophie der +Psychologie. + +Entspricht nicht mein Studium der Zeichensprache +dem Studium der Denkprozesse, welches +die Philosophen für die Philosophie der Logik für +so wesentlich hielten? Nur verwickelten sie sich +meistens in unwesentliche psychologische Untersuchungen +und eine analoge Gefahr gibt es auch +bei meiner Methode.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1122} +{Die Darwinsche Theorie hat mit der Philosophie +nicht mehr zu schaffen, als irgend eine andere +Hypothese der Naturwissenschaft.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.113} +{Die Philosophie begrenzt das bestreitbare +Gebiet der Naturwissenschaft.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.114} +{Sie soll das Denkbare abgrenzen und damit das +Undenkbare. + +Sie soll das Undenkbare von innen durch das +Denkbare begrenzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.115} +{Sie wird das Unsagbare bedeuten, indem sie +das Sagbare klar darstellt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.116} +{Alles was überhaupt gedacht werden kann, +kann klar gedacht werden. Alles was sich aussprechen +lässt, lässt sich klar aussprechen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.12} +{Der Satz kann die gesamte Wirklichkeit darstellen, +aber er kann nicht das darstellen, was er +mit der Wirklichkeit gemein haben muss, um sie +darstellen zu können---die logische Form. + +Um die logische Form darstellen zu können, +müssten wir uns mit dem Satze ausserhalb der +Logik aufstellen können, das heisst ausserhalb der +Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.121} +{Der Satz kann die logische Form nicht darstellen, +sie spiegelt sich in ihm. + +Was sich in der Sprache spiegelt, kann sie +nicht darstellen. + +Was \emph{sich} in der Sprache ausdrückt, können +\emph{wir} nicht durch sie ausdrücken. + +Der Satz \emph{zeigt} die logische Form der Wirklichkeit. + +Er weist sie auf.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1211} +{So zeigt ein Satz \glqq{}$fa$\grqq{}, dass in seinem Sinn der +Gegenstand $a$ vorkommt, zwei Sätze \glqq{}$fa$\grqq{} und \glqq{}$ga$\grqq{}, +dass in ihnen beiden von demselben Gegenstand +die Rede ist. + +Wenn zwei Sätze einander widersprechen, so +zeigt dies ihre Struktur; ebenso, wenn einer aus +dem anderen folgt. U.s.w.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1212} +{Was gezeigt werden \emph{kann}, \emph{kann} nicht gesagt +werden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1213} +{Jetzt verstehen wir auch unser Gefühl: dass wir +im Besitze einer richtigen logischen Auffassung +seien, wenn nur einmal alles in unserer Zeichensprache +stimmt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.122} +{Wir können in gewissem Sinne von formalen +Eigenschaften der Gegenstände und Sachverhalte +bezw.\ von Eigenschaften der Struktur der Tatsachen +reden und in demselben Sinne von formalen +Relationen und Relationen von Strukturen. + +(Statt Eigenschaft der Struktur sage ich auch +\glqq{}interne Eigenschaft\grqq{}; statt Relation der Strukturen +\glqq{}interne Relation\grqq{}. + +Ich führe diese Ausdrücke ein, um den Grund +der, bei den Philosophen sehr verbreiteten Verwechslung +zwischen den internen Relationen und +den eigentlichen (externen) Relationen zu zeigen.) + +Das Bestehen solcher interner Eigenschaften +und Relationen kann aber nicht durch Sätze +behauptet werden, sondern es zeigt sich in den +Sätzen, welche jene Sachverhalte darstellen und +von jenen Gegenständen handeln.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1221} +{Eine interne Eigenschaft einer Tatsache können +wir auch einen Zug dieser Tatsache nennen. (In +dem Sinn, in welchem wir etwa von Gesichtszügen +sprechen.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.123} +{Eine Eigenschaft ist intern, wenn es undenkbar +ist, dass ihr Gegenstand sie nicht besitzt. + +(Diese blaue Farbe und jene stehen in der +internen Relation von heller und dunkler eo ipso. +Es ist undenkbar, dass \emph{diese} beiden Gegenstände +nicht in dieser Relation stünden.) + +(Hier entspricht dem schwankenden Gebrauch +der Worte \glqq{}Eigenschaft\grqq{} und \glqq{}Relation\grqq{} der +schwankende Gebrauch des Wortes \glqq{}Gegenstand\grqq{}.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.124} +{Das Bestehen einer internen Eigenschaft einer +möglichen Sachlage wird nicht durch einen Satz +ausgedrückt, sondern es drückt sich in dem sie +darstellenden Satz, durch eine interne Eigenschaft +dieses Satzes aus. + +Es wäre ebenso unsinnig, dem Satze eine +formale Eigenschaft zuzusprechen, als sie ihm +abzusprechen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1241} +{Formen kann man nicht dadurch von einander +unterscheiden, dass man sagt, die eine habe diese, +die andere aber jene Eigenschaft; denn dies setzt +voraus, dass es einen Sinn habe, beide Eigenschaften +von beiden Formen auszusagen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.125} +{Das Bestehen einer internen Relation zwischen +möglichen Sachlagen drückt sich sprachlich durch +eine interne Relation zwischen den sie darstellenden +Sätzen aus.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1251} +{Hier erledigt sich nun die Streitfrage \glqq{}ob alle +Relationen intern oder extern\grqq{} seien.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1252} +{Reihen, welche durch \emph{interne} Relationen +geordnet sind, nenne ich Formenreihen. + +Die Zahlenreihe ist nicht nach einer externen, +sondern nach einer internen Relation geordnet. + +Ebenso die Reihe der Sätze \glqq{}$aRb$\grqq{}, +\glqq{}$(\exists x): aRx \DotOp xRb$\grqq{}, +\glqq{}$(\exists x,y): aRx \DotOp xRy \DotOp yRb$\grqq{}, \undSoFort + +(Steht $b$ in einer dieser Beziehungen zu $a$, so +nenne ich $b$ einen Nachfolger von $a$.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.126} +{In dem Sinne, in welchem wir von formalen +Eigenschaften sprechen, können wir nun auch +von formalen Begriffen reden. + +(Ich führe diesen Ausdruck ein, um den Grund +der Verwechslung der formalen Begriffe mit den +eigentlichen Begriffen, welche die ganze alte Logik +durchzieht, klar zu machen.) + +Dass etwas unter einen formalen Begriff als +dessen Gegenstand fällt, kann nicht durch einen +Satz ausgedrückt werden. Sondern es zeigt sich +an dem Zeichen dieses Gegenstandes selbst. (Der +Name zeigt, dass er einen Gegenstand bezeichnet, +das Zahlenzeichen, dass es eine Zahl bezeichnet etc.) + +Die formalen Begriffe können ja nicht, wie +die eigentlichen Begriffe, durch eine Funktion +dargestellt werden. + +Denn ihre Merkmale, die formalen Eigenschaften, +werden nicht durch Funktionen ausgedrückt. + +Der Ausdruck der formalen Eigenschaft ist ein +Zug gewisser Symbole. + +Das Zeichen der Merkmale eines formalen +Begriffes ist also ein charakteristischer Zug aller +Symbole, deren Bedeutungen unter den Begriff +fallen. + +Der Ausdruck des formalen Begriffes also, eine +Satzvariable, in welcher nur dieser charakteristische +Zug konstant ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.127} +{Die Satzvariable bezeichnet den formalen +Begriff und ihre Werte die Gegenstände, welche +unter diesen Begriff fallen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1271} +{Jede Variable ist das Zeichen eines formalen +Begriffes. + +Denn jede Variable stellt eine konstante Form +dar, welche alle ihre Werte besitzen, und die als +formale Eigenschaft dieser Werte aufgefasst werden +kann.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1272} +{So ist der variable Name \glqq{}$x$\grqq{} das eigentliche +Zeichen des Scheinbegriffes \emph{Gegenstand}. + +Wo immer das Wort \glqq{}Gegenstand\grqq{} (\glqq{}Ding\grqq{}, +\glqq{}Sache\grqq{}, etc.) richtig gebraucht wird, wird es in +der Begriffsschrift durch den variablen Namen +ausgedrückt. + +Zum Beispiel in dem Satz \glqq{}es gibt 2 Gegenstände, +welche\ \ldots\grqq{} durch \glqq{}$(\exists x, y)$ $\ldots$\grqq{}. + +Wo immer es anders, also als eigentliches +Begriffswort gebraucht wird, entstehen unsinnige +Scheinsätze. + +So kann man z. B.\ nicht sagen \glqq{}Es gibt Gegenstände\grqq{}, +wie man etwa sagt \glqq{}Es gibt Bücher\grqq{}. +Und ebenso wenig \glqq{}Es gibt 100 Gegenstände\grqq{}, +oder \glqq{}Es gibt $\aleph_0$ Gegenstände\grqq{}. + +Und es ist unsinnig, von der \emph{Anzahl aller +Gegenstände} zu sprechen. + +Dasselbe gilt von den Worten \glqq{}Komplex\grqq{}, +\glqq{}Tatsache\grqq{}, \glqq{}Funktion\grqq{}, \glqq{}Zahl\grqq{}, etc. + +Sie alle bezeichnen formale Begriffe und werden +in der Begriffsschrift durch Variable, nicht durch +Funktionen oder Klassen dargestellt. (Wie Frege +und Russell glaubten.) + +Ausdrücke wie \glqq{}1 ist eine Zahl\grqq{}, \glqq{}es gibt nur +Eine Null\grqq{} und alle ähnlichen sind unsinnig. + +(Es ist ebenso unsinnig zu sagen \glqq{}es gibt nur +eine 1\grqq{}, als es unsinnig wäre, zu sagen: $2 + 2$ ist +um 3 Uhr gleich 4.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.12721} +{Der formale Begriff ist mit einem Gegenstand, +der unter ihn fällt, bereits gegeben. Man kann +also nicht Gegenstände eines formalen Begriffes +\emph{und} den formalen Begriff selbst als Grundbegriffe +einführen. Man kann also z. B.\ nicht den Begriff +der Funktion, und auch spezielle Funktionen (wie +Russell) als Grundbegriffe einführen; oder den +Begriff der Zahl und bestimmte Zahlen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1273} +{Wollen wir den allgemeinen Satz: \glqq{}$b$ ist ein +Nachfolger von $a$\grqq{} in der Begriffsschrift ausdrücken, +so brauchen wir hierzu einen Ausdruck +für das allgemeine Glied der Formenreihe: $aRb$, +$(\exists x) : aRx \DotOp xRb$, $(\exists x,y) : aRx \DotOp xRy \DotOp yRb$, \ldots{} Das +allgemeine Glied einer Formenreihe kann man nur +durch eine Variable ausdrücken, denn der Begriff: +Glied dieser Formenreihe, ist ein \emph{formaler} +Begriff. (Dies haben Frege und Russell übersehen; +die Art und Weise wie sie allgemeine +Sätze, wie den obigen ausdrücken wollen ist daher +falsch; sie enthält einen circulus vitiosus.) + +Wir können das allgemeine Glied der Formenreihe +bestimmen, indem wir ihr erstes Glied +angeben und die allgemeine Form der Operation, +welche das folgende Glied aus dem vorhergehenden +Satz erzeugt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.1274} +{Die Frage nach der Existenz eines formalen +Begriffes ist unsinnig. Denn kein Satz kann eine +solche Frage beantworten. + +(Man kann also z. B.\ nicht fragen: \glqq{}Gibt es +unanalysierbare Sub\-jekt-Prä\-di\-kat\-sät\-ze?\grqq{})} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.128} +{Die logischen Formen sind zahl\emph{los}. + +Darum gibt es in der Logik keine ausgezeichneten +Zahlen und darum gibt es keinen philosophischen +Monismus oder Dualismus, etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.2} +{Der Sinn des Satzes ist seine Übereinstimmung, +und Nichtübereinstimmung mit den Möglichkeiten +des Bestehens und Nichtbestehens der +Sachverhalte.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.21} +{Der einfachste Satz, der Elementarsatz, behauptet +das Bestehen eines Sachverhaltes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.211} +{Ein Zeichen des Elementarsatzes ist es, dass +kein Elementarsatz mit ihm in Widerspruch stehen +kann.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.22} +{Der Elementarsatz besteht aus Namen. Er ist +ein Zusammenhang, eine Verkettung, von Namen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.221} +{Es ist offenbar, dass wir bei der Analyse der +Sätze auf Elementarsätze kommen müssen, die aus +Namen in unmittelbarer Verbindung bestehen. + +Es frägt sich hier, wie kommt der Satzverband +zustande.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.2211} +{Auch wenn die Welt unendlich komplex ist, +so dass jede Tatsache aus unendlich vielen Sachverhalten +besteht und jeder Sachverhalt aus unendlich +vielen Gegenständen zusammengesetzt ist, +auch dann müsste es Gegenstände und Sachverhalte +geben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.23} +{Der Name kommt im Satz nur im Zusammenhange +des Elementarsatzes vor.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.24} +{Die Namen sind die einfachen Symbole, ich +deute sie durch einzelne Buchstaben (\glqq{}$x$\grqq{}, \glqq{}$y$\grqq{}, \glqq{}$z$\grqq{}) +an. + +Den Elementarsatz schreibe ich als Funktion +der Namen in der Form: \glqq{}$fx$\grqq{}, \glqq{}$\phi(x,y\DPtypo{,}{})$\grqq{}, etc. + +Oder ich deute ihn durch die Buchstaben $p$, $q$, +$r$ an.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.241} +{Gebrauche ich zwei Zeichen in ein und derselben +Bedeutung, so drücke ich dies aus, indem +ich zwischen beide das Zeichen \glqq{}$=$\grqq{} setze. + +\glqq{}$a = b$\grqq{} heisst also: das Zeichen \glqq{}$a$\grqq{} ist durch +das Zeichen \glqq{}$b$\grqq{} ersetzbar. + +(Führe ich durch eine Gleichung ein neues +Zeichen \glqq{}$b$\grqq{} ein, indem ich bestimme, es solle ein +bereits bekanntes Zeichen \glqq{}$a$\grqq{} ersetzen, so schreibe +ich die Gleichung---Definition---(wie Russell) in +der Form \glqq{}$a = b$ Def.\grqq{}. Die Definition ist eine +Zeichenregel.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.242} +{Ausdrücke von der Form \glqq{}$a = b$\grqq{} sind also nur +Behelfe der Darstellung; sie sagen nichts über die +Bedeutung der Zeichen \glqq{}$a$\grqq{}, \glqq{}$b$\grqq{} aus.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.243} +{Können wir zwei Namen verstehen, ohne zu +wissen, ob sie dasselbe Ding oder zwei verschiedene +Dinge bezeichnen?---Können wir einen Satz, +worin zwei Namen vorkommen, verstehen, ohne +zu wissen, ob sie Dasselbe oder Verschiedenes +bedeuten? + +Kenne ich etwa die Bedeutung eines englischen +und eines gleichbedeutenden deutschen Wortes, so +ist es unmöglich, dass ich nicht weiss, dass die +beiden gleichbedeutend sind; es ist unmöglich, +dass ich sie nicht ineinander übersetzen kann. + +Ausdrücke wie \glqq{}$a = a$\grqq{}, oder von diesen abgeleitete, +sind weder Elementarsätze, noch sonst sinnvolle +Zeichen. (Dies wird sich später zeigen.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.25} +{Ist der Elementarsatz wahr, so besteht der +Sachverhalt; ist der Elementarsatz falsch, so besteht +der Sachverhalt nicht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.26} +{Die Angabe aller wahren Elementarsätze beschreibt +die Welt vollständig. Die Welt ist +vollständig beschrieben durch die Angaben aller +Elementarsätze plus der Angabe, welche von ihnen +wahr und welche falsch sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.27} +{Bezüglich des Bestehens und Nichtbestehens von +$n$ Sachverhalten gibt es $K_{n} = \sum\limits_{\nu = 0}^n\binom{n}{\nu}$ Möglichkeiten. + +Es können alle Kombinationen der Sachverhalte +bestehen, die andern nicht bestehen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.28} +{Diesen Kombinationen entsprechen ebenso viele +Möglichkeiten der Wahr\-heit---und Falschheit---von +$n$ Elementarsätzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.3} +{Die Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze +bedeuten die Möglichkeiten des Bestehens und +Nichtbestehens der Sachverhalte.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.31} +{Die Wahrheitsmöglichkeiten können wir durch Schemata folgender Art +darstellen (\glqq{}W\grqq{} bedeutet \glqq{}wahr\grqq{}, +\glqq{}F\grqq{}, \glqq{}falsch\grqq{}. Die Reihen der \glqq{}W\grqq{} +und \glqq{}F\grqq{} unter der Reihe der Ele\-mentar\-sätze bedeuten in +leichtverständlicher Symbolik deren Wahr\-heits\-mög\-lich\-keiten): + +% \begin{center} +% \begin{edtabularc} +% p & q & r\\ +% W & W & W\\ +% F & W & W\\ +% W & F & W\\ +% W & W & F\\ +% F & F & W\\ +% F & W & F\\ +% W & F & F\\ +% F & F & F +% \end{edtabularc} +% \hspace{0.5cm} +% \begin{tabular}[t]{c|c} +% p & q\\ +% \hline +% \hline +% \Strut W & W\\ +% \hline +% \Strut F & W\\ +% \hline +% \Strut W & F\\ +% \hline +% \Strut F & F\\ +% \hline +% \end{tabular} +% \hspace{0.5cm} +% \begin{tabular}[t]{c} +% p\\ +% \hline +% \hline +% \Strut W\\ +% \hline +% \Strut F\\ +% \hline +% \end{tabular} +% \end{center} +} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.4} +{Der Satz ist der Ausdruck der Übereinstimmung +und Nichtübereinstimmung mit den Wahrheitsmöglichkeiten +der Elementarsätze.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.41} +{Die Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze +sind die Bedingungen der Wahrheit und Falschheit +der Sätze.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.411} +{ +Es ist von vornherein wahrscheinlich, dass die +Einführung der Elementarsätze für das Verständnis +aller anderen Satzarten grundlegend ist. Ja, das +Verständnis der allgemeinen Sätze hängt \emph{fühlbar} +von dem der Elementarsätze ab.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.42} +{Bezüglich der Übereinstimmung und Nichtübereinstimmung +eines Satzes mit den Wahrheitsmöglichkeiten +von $n$ Elementarsätzen gibt es +$\sum\limits_{\kappa = 0}^{K_n}\binom{K_n}{\kappa} = L_{n}$ Möglichkeiten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.43} +{Die Übereinstimmung mit den Wahrheitsmöglichkeiten +können wir dadurch ausdrücken, indem +wir ihnen im Schema etwa das Abzeichen \glqq{}W\grqq{} +(wahr) zuordnen. + +Das Fehlen dieses Abzeichens bedeutet die +Nichtübereinstimmung.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.431} +{Der Ausdruck der Übereinstimmung und Nichtübereinstimmung +mit den Wahrheitsmöglichkeiten +der Elementarsätze drückt die Wahrheitsbedingungen +des Satzes aus. + +Der Satz ist der Ausdruck seiner Wahrheitsbedingungen. + +(Frege hat sie daher ganz richtig als Erklärung +der Zeichen seiner Begriffsschrift vorausgeschickt. +Nur ist die Erklärung des Wahrheitsbegriffes bei +Frege falsch: Wären \glqq{}das Wahre\grqq{} und \glqq{}das Falsche\grqq{} +wirklich Gegenstände und die Argumente in $\Not{p}$ +etc.\ dann wäre nach Frege's Bestimmung der Sinn +von \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} keineswegs bestimmt.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.44} +{Das Zeichen, welches durch die Zuordnung +jener Abzeichen \glqq{}W\grqq{} und der Wahrheitsmöglichkeiten +entsteht, ist ein Satzzeichen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.441} +{Es ist klar, dass dem Komplex der Zeichen +\glqq{}F\grqq{} und \glqq{}W\grqq{} kein Gegenstand (oder Komplex von +Gegenständen) entspricht; so wenig, wie den horizontalen +und vertikalen Strichen oder den Klammern.---\glqq{}Logische +Gegenstände\grqq{} gibt es nicht. + +Analoges gilt natürlich für alle Zeichen, die dasselbe +ausdrücken wie die Schemata der \glqq{}W\grqq{} und \glqq{}F\grqq{}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.442} +{Es ist \zumBeispiel:\\ +% \phantom{Es ist \zumBeispiel:} +% \raisebox{-2.3\baselineskip}{\glqq{}}\begin{tabular}{c|c|c} +% p & q &\\ +% \hline +% \hline +% \Strut W & W & W\\ +% \hline +% \Strut F & W & W\\ +% \hline +% \Strut W & F &\\ +% \hline +% \Strut F & F & W\\ +% \hline +% \end{tabular}\\ +% \phantom{Es ist \zumBeispiel: \glqq{}\begin{tabular}{c|c|c}W&W&W\end{tabular}} +% \smash[t]{\raisebox{5.8\baselineskip}{\grqq{}}} ein Satzzeichen. + +(Frege's \glqq{}\DPtypo{Urteilstrich}{Urteilsstrich}\grqq{} \glqq{}$\vdash$\grqq{} ist logisch ganz +bedeutungslos; er zeigt bei Frege (und Russell) +nur an, dass diese Autoren die so bezeichneten +Sätze für wahr halten. \glqq{}$\vdash$\grqq{} gehört daher ebenso +wenig zum Satzgefüge, wie etwa die Nummer des +Satzes. Ein Satz kann unmöglich von sich selbst +aussagen, dass er wahr ist.) + +Ist die Reihenfolge der Wahrheitsmöglichkeiten +im Schema durch eine Kombinationsregel ein für +allemal festgesetzt, dann ist die letzte Kolonne +allein schon ein Ausdruck der Wahrheitsbedingungen. +Schreiben wir diese Kolonne als Reihe +hin, so wird das Satzzeichen zu: + +\glqq{}(WW--W)($p$, $q$)\grqq{} oder deutlicher \glqq{}(WWFW)($p$, $q$)\grqq{}. + +(Die Anzahl der Stellen in der linken Klammer +ist durch die Anzahl der Glieder in der rechten +bestimmt.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.45} +{Für $n$ Elementarsätze gibt es $L_{n}$ mögliche Gruppen +von Wahrheitsbedingungen. + +Die Gruppen von Wahrheitsbedingungen, +welche zu den Wahrheitsmöglichkeiten einer +Anzahl von Elementarsätzen gehören, lassen sich +in eine Reihe ordnen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.46} +{Unter den möglichen Gruppen von Wahrheitsbedingungen +gibt es zwei extreme Fälle. + +In dem einen Fall ist der Satz für sämtliche +Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze wahr. +Wir sagen, die Wahrheitsbedingungen sind +\emph{tautologisch}. + +Im zweiten Fall ist der Satz für sämtliche +Wahrheitsmöglichkeiten falsch: Die Wahrheitsbedingungen +sind \emph{kontradiktorisch}. + +Im ersten Fall nennen wir den Satz eine +Tautologie, im zweiten Fall eine Kontradiktion.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.461} +{Der Satz zeigt was er sagt, die Tautologie und +die Kontradiktion, dass sie nichts sagen. + +Die Tautologie hat keine Wahrheitsbedingungen, +denn sie ist bedingungslos wahr; und +die Kontradiktion ist unter keiner Bedingung +wahr. + +Tautologie und Kontradiktion sind sinnlos. + +(Wie der Punkt von dem zwei Pfeile in +entgegengesetzter Richtung auseinandergehen.) + +(Ich weiss \zumBeispiel\ nichts über das Wetter, wenn +ich weiss, dass es regnet oder nicht regnet.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.4611} +{Tautologie und Kontradiktion sind aber nicht +unsinnig; sie gehören zum Symbolismus, und +zwar ähnlich wie die \glqq{}0\grqq{} zum Symbolismus der +Arithmetik.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.462} +{Tautologie und Kontradiktion sind nicht Bilder +der Wirklichkeit. Sie stellen keine mögliche +Sachlage dar. Denn jene lässt \emph{jede} mögliche +Sachlage zu, diese \emph{keine}. + +In der Tautologie heben die Bedingungen der +Übereinstimmung mit der Welt---die darstellenden +Beziehungen---einander auf, so dass sie in keiner +darstellenden Beziehung zur Wirklichkeit steht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.463} +{Die Wahrheitsbedingungen bestimmen den +Spielraum, der den Tatsachen durch den Satz +gelassen wird. + +(Der Satz, das Bild, das Modell, sind im +negativen Sinne wie ein fester Körper, der die +Bewegungsfreiheit der anderen beschränkt; im +positiven Sinne, wie der von fester Substanz +begrenzte Raum, worin ein Körper Platz hat.) + +Die Tautologie lässt der Wirklichkeit den gan\-zen---un\-end\-li\-chen---lo\-gi\-schen +Raum; die Kontradiktion +erfüllt den ganzen logischen Raum und lässt +der Wirklichkeit keinen Punkt. Keine von beiden +kann daher die Wirklichkeit irgendwie bestimmen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.464} +{Die Wahrheit der Tautologie ist gewiss, des +Satzes möglich, der Kontradiktion unmöglich. + +(Gewiss, möglich, unmöglich: Hier haben wir +das Anzeichen jener Gradation, die wir in der +Wahrscheinlichkeitslehre brauchen.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.465} +{Das logische Produkt einer Tautologie und +eines Satzes sagt dasselbe, wie der Satz. Also ist +jenes Produkt identisch mit dem Satz. Denn man +kann das Wesentliche des Symbols nicht ändern, +ohne seinen Sinn zu ändern.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.466} +{Einer bestimmten logischen Verbindung von +Zeichen entspricht eine bestimmte logische Verbindung +ihrer Bedeutungen; \emph{jede beliebige} +Verbindung entspricht nur den unverbundenen +Zeichen. + +Das heisst, Sätze die für jede Sachlage wahr +sind, können überhaupt keine Zeichenverbindungen +sein, denn sonst könnten ihnen nur bestimmte +Verbindungen von Gegenständen entsprechen. + +(Und keiner logischen Verbindung entspricht +\emph{keine} Verbindung der Gegenstände.) + +Tautologie und Kontradiktion sind die Grenzfälle +der Zeichenverbindung, nämlich ihre Auflösung.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.4661} +{Freilich sind auch in der Tautologie und Kontradiktion +die Zeichen noch mit einander verbunden, +\dasHeiszt\ sie stehen in Beziehungen zu einander, +aber diese Beziehungen sind bedeutungslos, dem +\emph{Symbol} unwesentlich.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.5} +{Nun scheint es möglich zu sein, die allgemeinste +Satzform anzugeben: das heisst, eine Beschreibung +der Sätze \emph{irgend einer} Zeichensprache zu geben, +so dass jeder mögliche Sinn durch ein Symbol, +auf welches die Beschreibung passt, ausgedrückt +werden kann, und dass jedes Symbol, worauf die +Beschreibung passt, einen Sinn ausdrücken kann, +wenn die Bedeutungen der Namen entsprechend +gewählt werden. + +Es ist klar, dass bei der Beschreibung der +allgemeinsten Satzform \emph{nur} ihr Wesentliches +beschrieben werden darf,---sonst wäre sie nämlich +nicht die allgemeinste. + +Dass es eine allgemeine Satzform gibt, wird +dadurch bewiesen, dass es keinen Satz geben darf, +dessen Form man nicht hätte voraussehen (\dasHeiszt\ konstruieren) +können. Die allgemeine Form des +Satzes ist: Es verhält sich so und so.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.51} +{Angenommen, mir wären \emph{alle} Elementarsätze +gegeben: Dann lässt sich einfach fragen: welche +Sätze kann ich aus ihnen bilden. Und das sind +\emph{alle} Sätze und \emph{so} sind sie begrenzt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.52} +{Die Sätze sind Alles, was aus der Gesamtheit +aller Elementarsätze folgt (natürlich auch daraus, +dass es die \emph{Gesamtheit aller} ist). (So könnte +man in gewissem Sinne sagen, dass \emph{alle} Sätze +Verallgemeinerungen der Elementarsätze sind.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{4.53} +{Die allgemeine Satzform ist eine Variable.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5} +{Der Satz ist eine Wahrheitsfunktion der Elementarsätze. + +(Der Elementarsatz ist eine Wahrheitsfunktion +seiner selbst.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.01} +{Die Elementarsätze sind die Wahrheitsargumente +des Satzes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.02} +{Es liegt nahe, die Argumente von Funktionen +mit den Indices von Namen zu verwechseln. Ich +erkenne nämlich sowohl am Argument wie am +Index die Bedeutung des sie enthaltenden Zeichens. + +In Russell's \glqq{}$+_{c}$\grqq{} ist \zumBeispiel\ \glqq{}$c$\grqq{} ein Index, der darauf +hinweist, dass das ganze Zeichen das Additionszeichen +für Kardinalzahlen ist. Aber diese Bezeichnung +beruht auf willkürlicher Übereinkunft und +man könnte statt \glqq{}$+_{c}$\grqq{} auch ein einfaches Zeichen +wählen; in \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} aber ist \glqq{}$p$\grqq{} kein Index, sondern +ein Argument: der Sinn von \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} \emph{kann nicht} +verstanden werden, ohne dass vorher der Sinn von +\glqq{}$p$\grqq{} verstanden worden wäre. (Im Namen Julius +Cäsar ist \glqq{}Julius\grqq{} ein Index. Der Index ist immer +ein Teil einer Beschreibung des Gegenstandes, +dessen Namen wir ihn anhängen. \ZumBeispiel\ \emph{Der} +Cäsar aus dem Geschlechte der Julier.) + +Die Verwechslung von Argument und Index +liegt, wenn ich mich nicht irre, der Theorie Frege's +von der Bedeutung der Sätze und Funktionen +zugrunde. Für Frege waren die Sätze der Logik +Namen, und deren Argumente die Indices dieser +Namen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.1} +{Die Wahrheitsfunktionen lassen sich in Reihen +ordnen. + +Das ist die Grundlage der Wahrscheinlichkeitslehre.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.101} +{Die Wahrheitsfunktionen jeder Anzahl von +Elementarsätzen lassen sich in einem Schema +folgender Art hinschreiben: + +\footnotesize\noindent +\begin{center} +\begin{edtabularl} +(\texttt{W} \texttt{W} \texttt{W} \texttt{W})\,($p, q$)&Tautologie&(Wenn $p$, so $p$; und wenn $q$, so $q$.) ($p \Implies p \DotOp q \Implies q$)\\ +(\texttt{F} \texttt{W} \texttt{W} \texttt{W})\,($p, q$)&in Worten:&Nicht beides $p$ und $q$. ($\Not{(p \DotOp q)}$)\\ +(\texttt{W} \texttt{F} \texttt{W} \texttt{W})\,($p, q$)&\DittoInWorten&Wenn $q$, so $p$. ($q \Implies p$)\\ +(\texttt{W} \texttt{W} \texttt{F} \texttt{W})\,($p, q$)&\DittoInWorten&Wenn $p$, so $q$. ($p \Implies q$)\\ +(\texttt{W} \texttt{W} \texttt{W} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWorten&$p$ oder $q$. ($p \lor q$)\\ +(\texttt{F} \texttt{F} \texttt{W} \texttt{W})\,($p, q$)&\DittoInWorten&Nicht $q$. ($\Not{q}$)\\ +(\texttt{F} \texttt{W} \texttt{F} \texttt{W})\,($p, q$)&\DittoInWorten&Nicht $p$. ($\Not{p}$)\\ +(\texttt{F} \texttt{W} \texttt{W} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWorten&$p$, oder $q$, aber nicht beide. ($p \DotOp \Not{q} : \lor : q \DotOp \Not{p}$)\\ +(\texttt{W} \texttt{F} \texttt{F} \texttt{W})\,($p, q$)&\DittoInWorten&Wenn $p$, so $q$; und wenn $q$, so $p$. ($p \equiv q$)\\ +(\texttt{W} \texttt{F} \texttt{W} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWorten&$p$\\ +(\texttt{W} \texttt{W} \texttt{F} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWorten&$q$\\ +(\texttt{F} \texttt{F} \texttt{F} \texttt{W})\,($p, q$)&\DittoInWorten&Weder $p$ noch $q$. ($\Not{p} \DotOp \Not{q}$) oder ($p \BarOp q$)\\ +(\texttt{F} \texttt{F} \texttt{W} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWorten&$p$ und nicht $q$. ($p \DotOp \Not{q}$)\\ +(\texttt{F} \texttt{W} \texttt{F} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWorten&$q$ und nicht $p$. ($q \DotOp \Not{p}$)\\ +(\texttt{W} \texttt{F} \texttt{F} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWorten&$q$ und $p$. ($q \DotOp p$)\\ +(\texttt{F} \texttt{F} \texttt{F} \texttt{F})\,($p, q$)&Kontradiktion&($p$ und nicht $p$; und $q$ und nicht $q$.) ($p \DotOp \Not{p} \DotOp q \DotOp \Not{q}$)\\ +\end{edtabularl} +\end{center} + +\normalsize + +Diejenigen Wahrheitsmöglichkeiten seiner Wahrheitsargumente, welche den Satz +bewahrheiten, will ich seine \emph{Wahrheitsgründe} nennen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.11} +{Sind die Wahrheitsgründe, die einer Anzahl +von Sätzen gemeinsam sind, sämtlich auch Wahrheitsgründe +eines bestimmten Satzes, so sagen +wir, die Wahrheit dieses Satzes folge aus der +Wahrheit jener Sätze.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.12} +{Insbesondere folgt die Wahrheit eines Satzes +\glqq{}$p$\grqq{} aus der Wahrheit eines anderen \glqq{}$q$\grqq{}, wenn +alle Wahrheitsgründe des zweiten Wahrheitsgründe +des ersten sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.121} +{Die Wahrheitsgründe des einen sind in denen +des anderen enthalten; $p$ folgt aus $q$.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.122} +{Folgt $p$ aus $q$, so ist der Sinn von \glqq{}$p$\grqq{} im +Sinne von \glqq{}$q$\grqq{} enthalten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.123} +{Wenn ein Gott eine Welt erschafft, worin +gewisse Sätze wahr sind, so schafft er damit auch +schon eine Welt, in welcher alle ihre Folgesätze +stimmen. Und ähnlich könnte er keine Welt +schaffen, worin der Satz \glqq{}$p$\grqq{} wahr ist, ohne seine +sämtlichen Gegenstände zu schaffen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.124} +{Der Satz bejaht jeden Satz der aus ihm +folgt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.1241} +{\glqq{}$p \DotOp q$\grqq{} ist einer der Sätze, welche \glqq{}$p$\grqq{} bejahen +und zugleich einer der Sätze, welche \glqq{}$q$\grqq{} +bejahen. + +Zwei Sätze sind einander entgegengesetzt, wenn +es keinen sinnvollen Satz gibt, der sie beide +bejaht. + +Jeder Satz der einem anderen widerspricht, +verneint ihn.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.13} +{Dass die Wahrheit eines Satzes aus der Wahrheit +anderer Sätze folgt, ersehen wir aus der +Struktur der Sätze.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.131} +{Folgt die Wahrheit eines Satzes aus der Wahrheit +anderer, so drückt sich dies durch Beziehungen +aus, in welchen die Formen jener Sätze zu +einander stehen; und zwar brauchen wir sie nicht +erst in jene Beziehungen zu setzen, indem wir +sie in einem Satze miteinander verbinden, sondern +diese Beziehungen sind intern und bestehen, sobald, +und dadurch dass, jene Sätze bestehen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.1311} +{Wenn wir von $p \lor q$ und $\Not{p}$ auf $q$ schliessen, +so ist hier durch die Bezeichnungsweise die Beziehung +der Satzformen von \glqq{}$p \lor q$\grqq{} und \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} verhüllt. +Schreiben wir aber \zumBeispiel\ statt \glqq{}$p \lor q$\grqq{} +\glqq{}$p \BarOp q \DotOp \BarOp \DotOp p \BarOp q$\grqq{} und statt \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} \glqq{}$p \BarOp p$\grqq{} ($p \BarOp q$ = weder +$p$, noch $q$), so wird der innere Zusammenhang +offenbar. + +(Dass man aus $(x) \DotOp fx$ auf $fa$ schliessen kann, +das zeigt, dass die Allgemeinheit auch im Symbol +\glqq{}$(x) \DotOp fx$\grqq{} vorhanden ist.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.132} +{Folgt $p$ aus $q$, so kann ich von $q$ auf $p$ schliessen; +$p$ aus $q$ folgern. + +Die Art des Schlusses ist allein aus den beiden +Sätzen zu entnehmen. + +Nur sie selbst können den Schluss rechtfertigen. + +\glqq{}Schlussgesetze\grqq{}, welche---wie bei Frege und +Russell---die Schlüsse rechtfertigen sollen, sind +sinnlos, und wären überflüssig.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.133} +{Alles Folgern geschieht a priori.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.134} +{Aus einem Elementarsatz lässt sich kein anderer +folgern.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.135} +{Auf keine Weise kann aus dem Bestehen irgend +einer Sachlage auf das Bestehen einer, von ihr gänzlich +verschiedenen Sachlage geschlossen werden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.136} +{Einen Kausalnexus, der einen solchen Schluss +rechtfertigte, gibt es nicht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.1361} +{Die Ereignisse der Zukunft \emph{können} wir nicht +aus den gegenwärtigen erschliessen. + +Der Glaube an den Kausalnexus ist der \emph{Aberglaube}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.1362} +{Die Willensfreiheit besteht darin, dass zukünftige +Handlungen jetzt nicht gewusst werden können. +Nur dann könnten wir sie wissen, wenn die Kausalität +eine \emph{innere} Notwendigkeit wäre, wie die +des logischen Schlusses.---Der Zusammenhang +von Wissen und Gewusstem, ist der der logischen +Notwendigkeit. + +(\glqq{}A weiss, dass $p$ der Fall ist\grqq{} ist sinnlos, wenn +$p$ eine Tautologie ist.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.1363} +{Wenn daraus, dass ein Satz uns einleuchtet, +nicht \emph{folgt}, dass er wahr ist, so ist das Einleuchten +auch keine Rechtfertigung für unseren +Glauben an seine Wahrheit.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.14} +{Folgt ein Satz aus einem anderen, so sagt +dieser mehr als jener, jener weniger als dieser.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.141} +{Folgt $p$ aus $q$ und $q$ aus $p$, so sind sie ein und +derselbe Satz.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.142} +{Die Tautologie folgt aus allen Sätzen: sie sagt +Nichts.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.143} +{Die Kontradiktion ist das Gemeinsame der +Sätze, was \emph{kein} Satz mit einem anderen gemein +hat. Die Tautologie ist das Gemeinsame aller +Sätze, welche nichts miteinander gemein haben. + +Die Kontradiktion verschwindet sozusagen +ausserhalb, die Tautologie innerhalb aller Sätze. + +Die Kontradiktion ist die äussere Grenze der +Sätze, die Tautologie ihr substanzloser Mittelpunkt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.15} +{Ist $W_{r}$ die Anzahl der Wahrheitsgründe des +Satzes \glqq{}$r$\grqq{}, $W_{rs}$ die Anzahl derjenigen Wahrheitsgründe +des Satzes \glqq{}$s$\grqq{}, die zugleich Wahrheitsgründe +von \glqq{}$r$\grqq{} sind, dann nennen wir das Verhältnis: $W_{rs} : +W_{r}$ das Mass der \emph{Wahrscheinlichkeit}, welche +der Satz \glqq{}$r$\grqq{} dem Satz \glqq{}$s$\grqq{} gibt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.151} +{Sei in einem Schema wie dem obigen in No.~\PropGRef{5.101} +$W_{r}$ die Anzahl der \glqq{}$W$\grqq{} im Satze $r$; $W_{rs}$ die +Anzahl derjenigen \glqq{}$W$\grqq{} im Satze $s$, die in gleichen +Kolonnen mit \glqq{}$W$\grqq{} des Satzes $r$ stehen. Der Satz +$r$ gibt dann dem Satze $s$ die Wahrscheinlichkeit: +$W_{rs} : W_{r}$.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.1511} +{Es gibt keinen besonderen Gegenstand, der den +Wahrscheinlichkeitssätzen eigen wäre.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.152} +{Sätze, welche keine Wahrheitsargumente mit +einander gemein haben, nennen wir von einander +unabhängig. + +Von einander unabhängige Sätze (\zumBeispiel\ irgend +zwei Elementarsätze) geben einander die Wahrscheinlichkeit~$\frac{1}{2}$. + +Folgt $p$ aus $q$, so gibt der Satz \glqq{}$q$\grqq{} dem Satz +\glqq{}$p$\grqq{} die Wahrscheinlichkeit~1. Die Gewissheit +des logischen Schlusses ist ein Grenzfall der +Wahrscheinlichkeit. + +(Anwendung auf Tautologie und Kontradiktion.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.153} +{Ein Satz ist an sich weder wahrscheinlich noch +unwahrscheinlich. Ein Ereignis trifft ein, oder +es trifft nicht ein, ein Mittelding gibt es nicht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.154} +{In einer Urne seien gleichviel weisse und +schwarze Kugeln (und keine anderen). Ich ziehe +eine Kugel nach der anderen und lege sie wieder +in die Urne zurück. Dann kann ich durch den +Versuch feststellen, dass sich die Zahlen der +gezogenen schwarzen und weissen Kugeln bei +fortgesetztem Ziehen einander nähern. + +\emph{Das} ist also kein mathematisches Faktum. + +Wenn ich nun sage: Es ist gleich wahrscheinlich, +dass ich eine weisse Kugel wie eine +schwarze ziehen werde, so heisst das: Alle mir +bekannten Umstände (die hypothetisch angenommenen +Naturgesetze mitinbegriffen) geben dem +Eintreffen des einen Ereignisses nicht \emph{mehr} +Wahrscheinlichkeit als dem Eintreffen des anderen. +Das heisst, sie geben---wie aus den obigen Erklärungen +leicht zu entnehmen ist---jedem die +Wahrscheinlichkeit~$\frac{1}{2}$. + +Was ich durch den Versuch bestätige ist, dass +das Eintreffen der beiden Ereignisse von den Umständen, +die ich nicht näher kenne, unabhängig ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.155} +{Die Einheit des Wahrscheinlichkeitssatzes ist: +Die Umstände---die ich sonst nicht weiter kenne---geben +dem Eintreffen eines bestimmten Ereignisses +den und den Grad der Wahrscheinlichkeit.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.156} +{So ist die Wahrscheinlichkeit eine Verallgemeinerung. + +Sie involviert eine allgemeine Beschreibung +einer Satzform. + +Nur in Ermanglung der Gewissheit gebrauchen +wir die Wahr\-schein\-lich\-keit.---Wenn wir zwar eine +Tatsache nicht vollkommen kennen, wohl aber +\emph{etwas} über ihre Form wissen. + +(Ein Satz kann zwar ein unvollständiges Bild +einer gewissen Sachlage sein, aber er ist immer +\emph{ein} vollständiges Bild.) + +Der Wahrscheinlichkeitssatz ist gleichsam ein +Auszug aus anderen Sätzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.2} +{Die Strukturen der Sätze stehen in internen +Beziehungen zu einander.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.21} +{Wir können diese internen Beziehungen +dadurch in unserer Ausdrucksweise hervorheben, +dass wir einen Satz als Resultat einer Operation +darstellen, die ihn aus anderen Sätzen (den Basen +der Operation) hervorbringt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.22} +{Die Operation ist der Ausdruck einer Beziehung +zwischen den Strukturen ihres Resultats und ihrer +Basen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.23} +{Die Operation ist das, was mit dem einen Satz +geschehen muss, um aus ihm den anderen zu machen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.231} +{Und das wird natürlich von ihren formalen +Eigenschaften, von der internen Ähnlichkeit ihrer +Formen abhängen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.232} +{Die interne Relation, die eine Reihe ordnet, ist +äquivalent mit der Operation, durch welche ein +Glied aus dem anderen entsteht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.233} +{Die Operation kann erst dort auftreten, wo ein +Satz auf logisch bedeutungsvolle Weise aus einem +anderen entsteht. Also dort, wo die logische +Konstruktion des Satzes anfängt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.234} +{Die Wahrheitsfunktionen der Elementarsätze +sind Resultate von Operationen, die die Elementarsätze +als Basen haben. (Ich nenne diese Operationen +Wahrheitsoperationen.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.2341} +{Der Sinn einer Wahrheitsfunktion von $p$ ist +eine Funktion des Sinnes von $p$. + +Verneinung, logische Addition, logische Multiplikation, +etc., etc.\ sind Operationen. + +(Die Verneinung verkehrt den Sinn des Satzes.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.24} +{Die Operation zeigt sich in einer Variablen; +sie zeigt, wie man von einer Form von Sätzen zu +einer anderen gelangen kann. + +Sie bringt den Unterschied der Formen zum +Ausdruck. + +(Und das Gemeinsame zwischen den Basen +und dem Resultat der Operation sind eben die +Basen.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.241} +{Die Operation kennzeichnet keine Form, sondern +nur den Unterschied der Formen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.242} +{Dieselbe Operation, die \glqq{}$q$\grqq{} aus \glqq{}$p$\grqq{} macht, +macht aus \glqq{}$q$\grqq{} \glqq{}$r$\grqq{} \undSoFort{} Dies kann nur darin +ausgedrückt sein, dass \glqq{}$p$\grqq{}, \glqq{}$q$\grqq{}, \glqq{}$r$\grqq{}, etc.\ Variable +sind, die gewisse formale Relationen allgemein +zum Ausdruck bringen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.25} +{Das Vorkommen der Operation charakterisiert +den Sinn des Satzes nicht. + +Die Operation sagt ja nichts aus, nur ihr Resultat, +und dies hängt von den Basen der Operation +ab. + +(Operation und Funktion dürfen nicht miteinander +verwechselt werden.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.251} +{Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument +sein, wohl aber kann das Resultat einer Operation +ihre eigene Basis werden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.252} +{Nur so ist das Fortschreiten von Glied zu Glied +in einer Formenreihe (von Type zu Type in den +Hierarchien Russells und Whiteheads) möglich. +(Russell und Whitehead haben die Möglichkeit +dieses Fortschreitens nicht zugegeben, aber immer +wieder von ihr Gebrauch gemacht.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.2521} +{Die fortgesetzte Anwendung einer Operation +auf ihr eigenes Resultat nenne ich ihre successive +Anwendung (\glqq{}$O' O' O' a$\grqq{} ist das Resultat der +dreimaligen successiven Anwendung von \glqq{}$O' \xi$\grqq{} +auf \glqq{}$a$\grqq{}). + +In einem ähnlichen Sinne rede ich von der +successiven Anwendung \emph{mehrerer} Operationen +auf eine Anzahl von Sätzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.2522} +{ +Das allgemeine Glied einer Formenreihe $a$, $O' a$, +$O' O' a$, $\fourdots$ schreibe ich daher so: \glqq{}$[a, x, O' x]$\grqq{}. +Dieser Klammerausdruck ist eine Variable. Das +erste Glied des Klammerausdruckes ist der Anfang +der Formenreihe, das zweite die Form eines +beliebigen Gliedes $x$ der Reihe und das dritte +die Form desjenigen Gliedes der Reihe, welches +auf $x$ unmittelbar folgt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.2523} +{Der Begriff der successiven Anwendung der +Operation ist äquivalent mit dem Begriff \glqq{}und so +weiter\grqq{}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.253} +{Eine Operation kann die Wirkung einer anderen +rückgängig machen. Operationen können einander +aufheben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.254} +{Die Operation kann verschwinden (\zumBeispiel\ die +Verneinung in \glqq{}$\Not{\Not{p}}$\grqq{}\DPtypo{}{,} $\Not{\Not{p}}$ $= p$).} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.3} +{Alle Sätze sind Resultate von Wahrheitsoperationen +mit den Elementarsätzen. + +Die Wahrheitsoperation ist die Art und Weise, +wie aus den Elementarsätzen die Wahrheitsfunktion +entsteht. + +Nach dem Wesen der Wahrheitsoperation wird +auf die gleiche Weise, wie aus den Elementarsätzen +ihre Wahrheitsfunktion, aus Wahrheitsfunktionen +eine Neue. Jede Wahrheitsoperation erzeugt aus +Wahrheitsfunktionen von Elementarsätzen wieder +eine Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen, einen +Satz. Das Resultat jeder Wahrheitsoperation mit +den Resultaten von Wahrheitsoperationen mit +Elementarsätzen ist wieder das Resultat \emph{Einer} +Wahrheitsoperation mit Elementarsätzen. + +Jeder Satz ist das Resultat von Wahrheitsoperationen +mit Elementarsätzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.31} +{Die Schemata No.~\PropGRef{4.31} haben auch dann eine +Bedeutung, wenn \glqq{}$p$\grqq{}, \glqq{}$q$\grqq{}, \glqq{}$r$\grqq{}, etc.\ nicht Elementarsätze +sind. + +Und es ist leicht zu sehen, dass das Satzzeichen in +No.~\DPtypo{\PropGRef{4.42}}{\PropGRef{4.442}}, auch wenn \glqq{}$p$\grqq{} und +\glqq{}$q$\grqq{} Wahrheitsfunktionen von Elementarsätzen sind, Eine +Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen ausdrückt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.32} +{Alle Wahrheitsfunktionen sind Resultate der +successiven Anwendung einer endlichen Anzahl +von Wahrheitsoperationen auf die Elementarsätze.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.4} +{Hier zeigt es sich, dass es \glqq{}logische Gegenstände\grqq{}, +\glqq{}logische Konstante\grqq{} (im Sinne Freges +und Russells) nicht gibt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.41} +{Denn: Alle Resultate von Wahrheitsoperationen +mit Wahrheitsfunktionen sind identisch, +welche eine und dieselbe Wahrheitsfunktion von +Elementarsätzen sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.42} +{Dass $\lor$, $\Implies$, etc.\ nicht Beziehungen im Sinne von +rechts und links etc.\ sind, leuchtet ein. + +Die Möglichkeit des kreuzweisen Definierens der +logischen \glqq{}Urzeichen\grqq{} Freges und Russells zeigt +schon, dass dies keine Urzeichen sind, und schon +erst recht, dass sie keine Relationen bezeichnen. + +Und es ist offenbar, dass das \glqq{}$\Implies$\grqq{}, welches wir +durch \glqq{}$\Not{}$\grqq{} und \glqq{}$\lor$\grqq{} definieren, identisch ist mit dem, +durch welches wir \glqq{}$\lor$\grqq{} mit \glqq{}$\Not{}$\grqq{} definieren und dass +dieses \glqq{}$\lor$\grqq{} mit dem ersten identisch ist. \UndSoWeiter} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.43} +{Dass aus einer Tatsache $p$ unendlich viele +\emph{andere} folgen sollten, nämlich $\Not{\Not{p}}$, $\Not{\Not{\Not{\Not{p}}}}$, +etc., ist doch von vornherein kaum zu glauben. +Und nicht weniger merkwürdig ist, dass die unendliche +Anzahl der Sätze der Logik (der Mathematik) +aus einem halben Dutzend \glqq{}Grundgesetzen\grqq{} folgen. + +Alle Sätze der Logik sagen aber dasselbe. Nämlich +Nichts.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.44} +{Die Wahrheitsfunktionen sind keine materiellen +Funktionen. + +Wenn man \zumBeispiel\ eine Bejahung durch doppelte +Verneinung erzeugen kann, ist dann die Verneinung---in +irgend einem Sinn\AllowBreak---in der Bejahung enthalten? +Verneint \glqq{}$\Not{\Not{p}}$\grqq{} $\Not{p}$, oder bejaht es $p$; oder beides? + +Der Satz \glqq{}$\Not{\Not{p}}$\grqq{} handelt nicht von der Verneinung +wie von einem Gegenstand; wohl aber ist +die Möglichkeit der Verneinung in der Bejahung +bereits präjudiziert. + +Und gäbe es einen Gegenstand, der \glqq{}$\Not{}$\grqq{} hiesse, +so müsste \glqq{}$\Not{\Not{p}}$\grqq{} etwas anderes sagen als \glqq{}$p$\grqq{}. +Denn der eine Satz würde dann eben von $\Not{}$ +handeln, der andere nicht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.441} +{Dieses Verschwinden der scheinbaren logischen +Konstanten tritt auch ein, wenn \glqq{}$\Not{(\exists x) \DotOp \Not{fx}}$\grqq{} +dasselbe sagt wie \glqq{}$(x) \DotOp fx$\grqq{}, oder \glqq{}$(\exists x) \DotOp fx \DotOp x = a$\grqq{} +dasselbe wie \glqq{}$fa$\grqq{}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.442} +{Wenn uns ein Satz gegeben ist, so sind \emph{mit +ihm} auch schon die Resultate aller Wahrheitsoperationen, +die ihn zur Basis haben, gegeben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.45} +{Gibt es logische Urzeichen, so muss eine richtige +Logik ihre Stellung zueinander klar machen und +ihr Dasein rechtfertigen. Der Bau der Logik \emph{aus} +ihren Urzeichen muss klar werden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.451} +{Hat die Logik Grundbegriffe, so müssen sie von +einander unabhängig sein. Ist ein Grundbegriff +eingeführt, so muss er in allen Verbindungen +eingeführt sein, worin er überhaupt vorkommt. Man +kann ihn also nicht zuerst für \emph{eine} Verbindung, +dann noch einmal für eine andere einführen. +\ZumBeispiel: Ist die Verneinung eingeführt, so müssen +wir sie jetzt in Sätzen von der Form \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} ebenso +verstehen, wie in Sätzen wie \glqq{}$\Not{(p \lor q)}$\grqq{}, \glqq{}$(\exists x) \DotOp \Not{fx}$\grqq{}~\undAndere\ +Wir dürfen sie nicht erst für die eine Klasse +von Fällen, dann für die andere einführen, denn es +bliebe dann zweifelhaft, ob ihre Bedeutung in beiden +Fällen die gleiche wäre und es wäre kein Grund +vorhanden, in beiden Fällen dieselbe Art der +Zeichenverbindung zu benützen. + +(Kurz, für die Einführung der Urzeichen gilt, +mutatis mutandis, dasselbe, was Frege (\glqq{}Grundgesetze +der Arithmetik\grqq{}) für die Einführung von +Zeichen durch Definitionen gesagt hat.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.452} +{Die Einführung eines neuen Behelfes in den Symbolismus +der Logik muss immer ein folgenschweres +Ereignis sein. Kein neuer Behelf darf in die Logik---sozusagen, +mit ganz unschuldiger Miene---in Klammern +oder unter dem Striche eingeführt werden. + +(So kommen in den \glqq{}Principia Mathematica\grqq{} +von Russell und Whitehead Definitionen und +Grundgesetze in Worten vor. Warum hier plötzlich +Worte? Dies bedürfte einer Rechtfertigung. +Sie fehlt und muss fehlen, da das Vorgehen tatsächlich +unerlaubt ist.) + +Hat sich aber die Einführung eines neuen +Behelfes an einer Stelle als nötig erwiesen, so muss +man sich nun sofort fragen: Wo muss dieser +Behelf nun \emph{immer} angewandt werden? Seine +Stellung in der Logik muss nun erklärt werden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.453} +{Alle Zahlen der Logik müssen sich rechtfertigen +lassen. + +Oder vielmehr: Es muss sich herausstellen, +dass es in der Logik keine Zahlen gibt. + +Es gibt keine ausgezeichneten Zahlen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.454} +{In der Logik gibt es kein Nebeneinander, kann +es keine Klassifikation geben. + +In der Logik kann es nicht Allgemeineres und +Spezielleres geben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.4541} +{Die Lösungen der logischen Probleme müssen +einfach sein, denn sie setzen den Standard der +Einfachheit. + +Die Menschen haben immer geahnt, dass es ein +Gebiet von Fragen geben müsse, deren Antworten---a +priori---symmetrisch, und zu einem abgeschlossenen, +regelmässigen Gebilde vereintliegen. + +Ein Gebiet, in dem der Satz gilt: simplex +sigillum veri.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.46} +{Wenn man die logischen Zeichen richtig +einführte, so hätte man damit auch schon den Sinn +aller ihrer Kombinationen eingeführt; also nicht +nur \glqq{}$p \lor q$\grqq{} sondern auch schon \glqq{}$\Not{(p \lor \Not{q})}$\grqq{} etc.\ etc. +Man hätte damit auch schon die Wirkung +aller nur möglichen Kombinationen von Klammern +eingeführt. Und damit wäre es klar geworden, +dass die eigentlichen allgemeinen Urzeichen nicht +die \glqq{}$p \lor q$\grqq{}, \glqq{}$(\exists x) \DotOp fx$\grqq{}, etc.\ sind, sondern die allgemeinste +Form ihrer Kombinationen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.461} +{Bedeutungsvoll ist die scheinbar unwichtige +Tatsache, dass die logischen Scheinbeziehungen, +wie $\lor$ und $\Implies$, der Klammern be\-dür\-fen---im Gegensatz +zu den wirklichen Beziehungen. + +Die Benützung der Klammern mit jenen scheinbaren +Urzeichen deutet ja schon darauf hin, dass +diese nicht die wirklichen Urzeichen sind. Und +es wird doch wohl niemand glauben, dass die +Klammern eine selbständige Bedeutung haben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.4611} +{Die logischen Operationszeichen sind Interpunktionen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.47} +{Es ist klar, dass alles was sich überhaupt \emph{von +vornherein} über die Form aller Sätze sagen +lässt, sich \emph{aufeinmal} sagen lassen muss. + +Sind ja schon im Elementarsatze alle logischen +Operationen enthalten. Denn \glqq{}$fa$\grqq{} sagt dasselbe +wie \glqq{}$(\exists x) \DotOp fx \DotOp x = a$\grqq{}. + +Wo Zusammengesetztheit ist, da ist Argument +und Funktion, und wo diese sind, sind bereits alle +logischen Konstanten. + +Man könnte sagen: Die Eine logische Konstante +ist das, was \emph{alle} Sätze, ihrer Natur nach, mit +einander gemein haben. + +Das aber ist die allgemeine Satzform.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.471} +{Die allgemeine Satzform ist das Wesen des +Satzes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.4711} +{Das Wesen des Satzes angeben, heisst, das +Wesen aller Beschreibung angeben, also das +Wesen der Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.472} +{Die Beschreibung der allgemeinsten Satzform +ist die Beschreibung des einen und einzigen +allgemeinen Urzeichens der Logik.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.473} +{Die Logik muss für sich selber sorgen. + +Ein \emph{mögliches} Zeichen muss auch bezeichnen +können. Alles was in der Logik möglich ist, ist +auch erlaubt. (\glqq{}Sokrates ist identisch\grqq{} heisst darum +nichts, weil es keine Eigenschaft gibt, die +\glqq{}identisch\grqq{} heisst. Der Satz ist unsinnig, weil +wir eine willkürliche Bestimmung nicht getroffen +haben, aber nicht darum, weil das Symbol an und +für sich unerlaubt wäre.) + +Wir können uns, in gewissem Sinne, nicht in +der Logik irren.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.4731} +{Das Einleuchten, von dem Russell so viel +sprach, kann nur dadurch in der Logik entbehrlich +werden, dass die Sprache selbst jeden logischen +Fehler ver\-hin\-dert.---Dass die Logik a priori ist, +besteht darin, dass nicht unlogisch gedacht werden +\emph{kann}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.4732} +{Wir können einem Zeichen nicht den unrechten +Sinn geben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.47321} +{Occams Devise ist natürlich keine willkürliche, +oder durch ihren praktischen Erfolg gerechtfertigte, +Regel: Sie besagt, dass \emph{unnötige} Zeicheneinheiten +nichts bedeuten. + +Zeichen, die \emph{Einen} Zweck erfüllen, sind logisch +äquivalent, Zeichen, die \emph{keinen} Zweck erfüllen, +logisch bedeutungslos.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.4733} +{Frege sagt: Jeder rechtmässig gebildete Satz +muss einen Sinn haben; und ich sage: Jeder +mögliche Satz ist rechtmässig gebildet, und wenn er +keinen Sinn hat, so kann das nur daran liegen, dass +wir einigen seiner Bestandteile keine \emph{Bedeutung} +gegeben haben. + +(Wenn wir auch glauben, es getan zu haben.) + +So sagt \glqq{}Sokrates ist identisch\grqq{} darum nichts, +weil wir dem Wort \glqq{}identisch\grqq{} als \emph{Eigenschaftswort} +\emph{keine} Bedeutung gegeben haben. Denn, +wenn es als Gleichheitszeichen auftritt, so symbolisiert +es auf ganz andere Art und Weise---die +bezeichnende Beziehung ist eine an\-de\-re,---also ist +auch das Symbol in beiden Fällen ganz verschieden; +die beiden Symbole haben nur das Zeichen zufällig +miteinander gemein.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.474} +{Die Anzahl der nötigen Grundoperationen hängt +\emph{nur} von unserer Notation ab.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.475} +{Es kommt nur darauf an, ein Zeichensystem von +einer bestimmten Anzahl von Dimensionen---von +einer bestimmten mathematischen Man\-nig\-fal\-tig\-keit---zu +bilden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.476} +{Es ist klar, dass es sich hier nicht um eine +\emph{Anzahl von Grundbegriffen} handelt, die +bezeichnet werden müssen, sondern um den +Ausdruck einer Regel.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5} +{Jede Wahrheitsfunktion ist ein Resultat der +successiven Anwendung der Operation \mbox{(--\;--\;--\;--\;--W)}\AllowBreak($\xi, \fourdots$) +auf Elementarsätze. + +Diese Operation verneint sämtliche Sätze in der +rechten Klammer und ich nenne sie die Negation +dieser Sätze.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.501} +{Einen Klammerausdruck, dessen Glieder Sätze +sind, deute ich\AllowBreak---wenn die Reihenfolge der Glieder in +der Klammer gleichgültig ist---durch ein Zeichen von +der Form \glqq{}$(\overline{\xi})$\grqq{} an. \glqq{}$\xi$\grqq{} ist eine Variable, deren Werte +die Glieder des Klammerausdruckes sind; und der +Strich über der Variablen deutet an, dass sie ihre +sämtlichen Werte in der Klammer vertritt. + +(Hat also $\xi$ etwa die 3 Werte P, Q, R, so ist +($\overline{\xi}$) = (P, Q, R).) + +Die Werte der Variablen werden festgesetzt. + +Die Festsetzung ist die Beschreibung der Sätze, +welche die Variable vertritt. + +Wie die Beschreibung der Glieder des Klammerausdruckes +geschieht, ist unwesentlich. + +Wir \emph{können} drei Arten der Beschreibung +unterscheiden: 1.~Die direkte Aufzählung. In +diesem Fall können wir statt der Variablen einfach +ihre konstanten Werte setzen. 2.~Die Angabe +einer Funktion $fx$, deren Werte für alle Werte von +$x$ die zu beschreibenden Sätze sind. 3.~Die Angabe +eines formalen Gesetzes, nach welchem jene Sätze +gebildet sind. In diesem Falle sind die Glieder des +Klammerausdrucks sämtliche Glieder einer Formenreihe.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.502} +{Ich schreibe also statt \mbox{\glqq{}(--\;--\;--\;--\;--W)}\AllowBreak($\xi, \fourdots$)\grqq{} +\glqq{}$N(\overline{\xi})$\grqq{}. + +$N(\overline{\xi})$ ist die Negation sämtlicher Werte der +Satzvariablen $\xi$.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.503} +{Da sich offenbar leicht ausdrücken lässt, wie mit +dieser Operation Sätze gebildet werden können und +wie Sätze mit ihr nicht zu bilden sind, so muss +dies auch einen exakten Ausdruck finden können.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.51} +{Hat $\xi$ nur einen Wert, so ist $N(\overline{\xi}) = \Not{p}$ (nicht $p$), +hat es zwei Werte, so ist $N(\overline{\xi}) = \Not{p} \DotOp \Not{q}$ (weder +$p$ noch $q$).} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.511} +{Wie kann die allumfassende, weltspiegelnde +Logik so spezielle Haken und Manipulationen +gebrauchen? Nur, indem sich alle diese zu einem +unendlich feinen Netzwerk, zu dem grossen Spiegel, +verknüpfen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.512} +{\glqq{}$\Not{p}$\grqq{} ist wahr, wenn \glqq{}$p$\grqq{} falsch ist. Also in +dem wahren Satz \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} ist \glqq{}$p$\grqq{} ein falscher Satz. +Wie kann ihn nun der Strich \glqq{}$\Not{}$\grqq{} mit der Wirklichkeit +zum Stimmen bringen? + +Das, was in \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} verneint, ist aber nicht das +\glqq{}$\Not{}$\grqq{}, sondern dasjenige, was allen Zeichen dieser +Notation, welche $p$ verneinen, gemeinsam ist. + +Also die gemeinsame Regel, nach welcher +\glqq{}$\Not{p}$\grqq{}, \glqq{}$\Not{\Not{\Not{p}}}$\grqq{}, \glqq{}$\Not{p} \lor \Not{p}$\grqq{}, \glqq{}$\Not{p} \DotOp \Not{p}$\grqq{}, etc.\ etc.\ (ad +inf.) gebildet werden. Und dies Gemeinsame +spiegelt die Verneinung \DPtypo{wieder}{wider}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.513} +{Man könnte sagen: Das Gemeinsame aller Symbole, +die sowohl $p$ als $q$ bejahen, ist der Satz +\glqq{}$p \DotOp q$\grqq{}. Das Gemeinsame aller Symbole, die +entweder $p$ oder $q$ bejahen, ist der Satz \glqq{}$p \lor q$\grqq{}. + +Und so kann man sagen: Zwei Sätze sind +einander entgegengesetzt, wenn sie nichts miteinander +gemein haben, und: Jeder Satz hat nur ein +Negativ, weil es nur einen Satz gibt, der ganz +ausserhalb seiner liegt. + +Es zeigt sich so auch in Russells Notation, dass +\glqq{}$q : p \lor \Not{p}$\grqq{} dasselbe sagt wie \glqq{}$q$\grqq{}; dass \glqq{}$p \lor \Not{p}$\grqq{} +\DPtypo{nichtssagt}{nichts sagt}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.514} +{Ist eine Notation festgelegt, so gibt es in ihr eine +Regel, nach der alle $p$ verneinenden \DPtypo{Sätz}{Sätze} gebildet +werden, eine Regel, nach der alle $p$ bejahenden +Sätze gebildet werden, eine Regel, nach der alle +$p$ oder $q$ bejahenden Sätze gebildet werden, \undSoFort{} +Diese Regeln sind den Symbolen äquivalent +und in ihnen spiegelt sich ihr Sinn \DPtypo{wieder}{wider}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.515} +{Es muss sich an unseren Symbolen zeigen, dass +das, was durch \glqq{}$\lor$\grqq{}, \glqq{}$\DotOp$\grqq{}, etc.\ miteinander verbunden +ist, Sätze sein müssen. + +Und dies ist auch der Fall, denn das Symbol \glqq{}$p$\grqq{} +und \glqq{}$q$\grqq{} setzt ja selbst das \glqq{}$\lor$\grqq{}, \glqq{}$\Not{}$\grqq{}, etc.\ voraus. +Wenn das Zeichen \glqq{}$p$\grqq{} in \glqq{}$p \lor q$\grqq{} nicht für ein komplexes +Zeichen steht, dann kann es allein nicht +Sinn haben; dann können aber auch die mit \glqq{}$p$\grqq{} +gleichsinnigen Zeichen \glqq{}$p \lor p$\grqq{}, \glqq{}$p \DotOp p$\grqq{}, etc.\ keinen +Sinn haben. Wenn aber \glqq{}$p \lor p$\grqq{} keinen Sinn hat, +dann kann auch \glqq{}$p \lor q$\grqq{} keinen Sinn haben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5151} +{Muss das Zeichen des negativen Satzes mit dem +Zeichen des positiven gebildet werden? Warum +sollte man den negativen Satz nicht durch eine negative +Tatsache ausdrücken können. (Etwa: Wenn +\glqq{}$a$\grqq{} nicht in einer bestimmten Beziehung zu \glqq{}$b$\grqq{} steht, +könnte das ausdrücken, dass $aRb$ nicht der Fall ist.) + +Aber auch hier ist ja der negative Satz indirekt +durch den positiven gebildet. + +Der positive \emph{Satz} muss die Existenz des negativen +\emph{Satzes} voraussetzen und umgekehrt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.52} +{Sind die Werte von $\xi$ sämtliche Werte einer +Funktion $fx$ für alle Werte von $x$, so wird +$N(\overline{\xi}) = \Not{(\exists x) \DotOp fx}$.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.521} +{Ich trenne den Begriff \emph{Alle} von der Wahrheitsfunktion. + +Frege und Russell haben die Allgemeinheit in +Verbindung mit dem logischen Produkt oder der +logischen Summe eingeführt. So wurde es schwer, +die Sätze \glqq{}$(\exists x) \DotOp fx$\grqq{} und \glqq{}$(x) \DotOp fx$\grqq{}, in welchen beide +Ideen beschlossen liegen, zu verstehen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.522} +{Das Eigentümliche der Allgemeinheitsbezeichnung +ist erstens, dass sie auf ein logisches Urbild +hinweist, und zweitens, dass sie Konstante +hervorhebt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.523} +{Die Allgemeinheitsbezeichnung tritt als Argument +auf.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.524} +{Wenn die Gegenstände gegeben sind, so sind +uns damit auch schon \emph{alle} Gegenstände gegeben. + +Wenn die Elementarsätze gegeben sind, so sind +damit auch \emph{alle} Elementarsätze gegeben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.525} +{Es ist unrichtig, den Satz \glqq{}$(\exists x) \DotOp fx$\grqq{}---wie +Russell dies tut---in Worten durch \glqq{}$fx$ ist \emph{möglich}\grqq{} +wiederzugeben. + +Gewissheit, Möglichkeit oder Unmöglichkeit +einer Sachlage wird nicht durch einen Satz ausgedrückt, +sondern dadurch, dass ein Ausdruck eine +Tautologie, ein sinnvoller Satz, oder eine Kontradiktion +ist. + +Jener Präzedenzfall, auf den man sich immer +berufen möchte, muss schon im Symbol selber +liegen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.526} +{Man kann die Welt vollständig durch vollkommen +verallgemeinerte Sätze beschreiben, das +heisst also, ohne irgend einen Namen von vornherein +einem bestimmten Gegenstand zuzuordnen. + +Um dann auf die gewöhnliche Ausdrucksweise +zu kommen, muss man einfach nach einem Ausdruck +\glqq{}es gibt ein und nur ein $x$, welches~$\fourdots$\grqq{} sagen: +Und dies $x$ ist $a$.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5261} +{Ein vollkommen verallgemeinerter Satz ist, wie +jeder andere Satz zusammengesetzt. (Dies zeigt +sich daran, dass wir in \glqq{}$(\exists x, \phi) \DotOp \phi x$\grqq{} \glqq{}$\phi$\grqq{} und \glqq{}$x$\grqq{} +getrennt erwähnen müssen. Beide stehen unabhängig +in bezeichnenden Beziehungen zur Welt, +wie im unverallgemeinerten Satz.) + +Kennzeichen des zusammengesetzten Symbols: +Es hat etwas mit \emph{anderen} Symbolen gemeinsam.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5262} +{Es verändert ja die Wahr- oder Falschheit \emph{jedes} +Satzes etwas am allgemeinen Bau der Welt. Und +der Spielraum, welcher ihrem Bau durch die +Gesamtheit der Elementarsätze gelassen wird, ist +eben derjenige, welchen die ganz allgemeinen +Sätze begrenzen. + +(Wenn ein Elementarsatz wahr ist, so ist damit +doch jedenfalls Ein Elementarsatz \emph{mehr} wahr.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.53} +{ +Gleichheit des Gegenstandes drücke ich durch +Gleichheit des Zeichens aus, und nicht mit Hilfe +eines Gleichheitszeichens. Verschiedenheit der +Gegenstände durch Verschiedenheit der Zeichen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5301} +{Dass die Identität keine Relation zwischen Gegenständen +ist, leuchtet ein. Dies wird sehr klar, +wenn man \zumBeispiel\ den Satz \glqq{}$(x) : fx \DotOp \Implies \DotOp x = a$\grqq{} +betrachtet. Was dieser Satz sagt, ist einfach, +dass \emph{nur} $a$ der Funktion $f$ genügt, und nicht, +dass nur solche Dinge der Funktion $f$ genügen, +welche eine gewisse Beziehung zu $a$ haben. + +Man könnte nun freilich sagen, dass eben \emph{nur} +$a$ diese Beziehung zu $a$ habe, aber um dies auszudrücken, +brauchten wir das Gleichheitszeichen +selber.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5302} +{Russells Definition von \glqq{}$=$\grqq{} genügt nicht; weil +man nach ihr nicht sagen kann, dass zwei Gegenstände +alle Eigenschaften gemeinsam haben. +(Selbst wenn dieser Satz nie richtig ist, hat er +doch \emph{Sinn}.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5303} +{Beiläufig gesprochen: Von \emph{zwei} Dingen zu +sagen, sie seien identisch, ist ein Unsinn, und von +\emph{Einem} zu sagen, es sei identisch mit sich selbst, +sagt gar nichts.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.531} +{Ich schreibe also nicht \glqq{}$f(a,b) \DotOp a = b$\grqq{}, sondern +\glqq{}$f(a,a)$\grqq{} (oder \glqq{}$f(b,b)$\grqq{}). Und nicht \glqq{}$f(a,b) \DotOp \Not{a = b}$\grqq{}, +sondern \glqq{}$f(a,b)$\grqq{}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.532} +{Und analog: Nicht \glqq{}$(\exists x,y) \DotOp f(x,y) \DotOp x = y$\grqq{}, +sondern \glqq{}$(\exists x) \DotOp f(x,x)$\grqq{}; und nicht \glqq{}$(\exists x,y) \DotOp f(x,y) \DotOp +\Not{x = y}$\grqq{}, sondern \glqq{}$(\exists x,y) \DotOp f(x,y)$\grqq{}. + +(Also statt des Russell'schen \glqq{}$(\exists x,y) \DotOp f(x,y)$\grqq{}: +\glqq{}$(\exists x,y) \DotOp f(x,y) \DotOp \lor \DotOp (\exists x) \DotOp f(x,x)$\grqq{}.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5321} +{Statt \glqq{}$(x) : fx \Implies x = a$\grqq{} schreiben wir also \zumBeispiel\ \glqq{}$(\exists +x) \DotOp fx \DotOp \Implies \DotOp fa : \Not{(\exists x,y) \DotOp fx \DotOp fy}$\grqq{}. + +Und der Satz \glqq{}\emph{nur} Ein $x$ befriedigt $f()$\grqq{} lautet: +\glqq{}$(\exists x) \DotOp fx : \Not{(\exists x,y) \DotOp fx \DotOp fy}$\grqq{}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.533} +{Das Gleichheitszeichen ist also kein wesentlicher +Bestandteil der Begriffsschrift.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.534} +{Und nun sehen wir, dass Scheinsätze wie: +\glqq{}$a = a$\grqq{}, \glqq{}$a = b \DotOp b = c \DotOp \Implies a = c$\grqq{}, \glqq{}$(x) \DotOp x = x$\grqq{}, \glqq{}$(\exists x) \DotOp +x = a$\grqq{}, etc.\ sich in einer richtigen Begriffsschrift gar +nicht hinschreiben lassen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.535} +{Damit erledigen sich auch alle Probleme, die +an solche Scheinsätze geknüpft waren. + +Alle Probleme, die Russells \glqq{}Axiom of Infinity\grqq{} +mit sich bringt, sind schon hier zu lösen. + +Das, was das Axiom of infinity sagen soll, würde +sich in der Sprache dadurch ausdrücken, dass es +unendlich viele Namen mit verschiedener Bedeutung +gäbe.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5351} +{Es gibt gewisse Fälle, wo man in Versuchung +gerät, Ausdrücke von der Form \glqq{}$a = a$\grqq{} oder \glqq{}$p \Implies p$\grqq{} +u.~dgl.\ zu benützen. Und zwar geschieht dies, +wenn man von dem Urbild: Satz, Ding, etc.\ reden +möchte. So hat Russell in den \glqq{}Principles of +Mathematics\grqq{} den Unsinn \glqq{}$p$ ist ein Satz\grqq{} in Symbolen +durch \glqq{}$p \Implies p$\grqq{} wiedergegeben und als Hypothese +vor gewisse Sätze gestellt, damit deren +Argumentstellen nur von Sätzen besetzt werden +könnten. + +(Es ist schon darum Unsinn, die Hypothese +$p \Implies p$ vor einen Satz zu stellen, um ihm Argumente +der richtigen Form zu sichern, weil die Hypothese +für einen Nicht-Satz als Argument nicht falsch, +sondern unsinnig wird, und weil der Satz selbst +durch die unrichtige Gattung von Argumenten +unsinnig wird, also sich selbst ebenso gut, oder so +schlecht, vor den unrechten Argumenten bewahrt, +wie die zu diesem Zweck angehängte sinnlose +Hypothese.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5352} +{Ebenso wollte man \glqq{}Es gibt keine \emph{Dinge}\grqq{} ausdrücken +durch \glqq{}$\Not{(\exists x) \DotOp x = x}$\grqq{}. Aber selbst wenn +dies ein Satz wäre,---wäre er nicht auch wahr, wenn +es zwar \glqq{}Dinge gäbe\grqq{}, aber diese nicht mit sich +selbst identisch wären?} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.54} +{In der allgemeinen Satzform kommt der Satz im +Satze nur als Basis der Wahrheitsoperationen vor.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.541} +{Auf den ersten Blick scheint es, als könne ein Satz +in einem anderen auch auf andere Weise vorkommen. + +Besonders in gewissen Satzformen der Psychologie, +wie \glqq{}A glaubt, dass $p$ der Fall ist\grqq{}, oder +\glqq{}A denkt $p$\grqq{}, etc. + +Hier scheint es nämlich oberflächlich, als stünde +der Satz $p$ zu einem Gegenstand A in einer Art +von Relation. + +(Und in der modernen Erkenntnistheorie (Russell, +Moore, etc.) sind jene Sätze auch so aufgefasst +worden.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.542} +{Es ist aber klar, dass \glqq{}A glaubt, dass $p$\grqq{}, \glqq{}A +denkt $p$\grqq{}, \glqq{}A sagt $p$\grqq{} von der Form \glqq{}\glq{}$p$\grq{} sagt $p$\grqq{} sind: +Und hier handelt es sich nicht um eine Zuordnung +von einer Tatsache und einem Gegenstand, sondern +um die Zuordnung von Tatsachen durch Zuordnung +ihrer Gegenstände.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5421} +{Dies zeigt auch, dass die Seele---das Subjekt, +etc.---wie sie in der heutigen oberflächlichen Psychologie +aufgefasst wird, ein Unding ist. + +Eine zusammengesetzte Seele wäre nämlich +keine Seele mehr.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5422} +{Die richtige Erklärung der Form des Satzes \glqq{}A +urteilt $p$\grqq{} muss zeigen, dass es unmöglich ist, einen +Unsinn zu urteilen. (Russells Theorie genügt +dieser Bedingung nicht.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5423} +{Einen Komplex wahrnehmen, heisst, wahrnehmen, +dass sich seine Bestandteile so und so zu einander +verhalten. + +Dies erklärt wohl auch, dass man die Figur +\Illustration{cube} +auf zweierlei Art als Würfel sehen kann; und alle +ähnlichen Erscheinungen. Denn wir sehen eben +wirklich zwei verschiedene Tatsachen. + +(Sehe ich erst auf die Ecken $a$ und nur flüchtig +auf $b$, so erscheint $a$ vorne; und umgekehrt.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.55} +{Wir müssen nun die Frage nach allen möglichen +Formen der Elementarsätze a priori beantworten. + +Der Elementarsatz besteht aus Namen. Da wir +aber die Anzahl der Namen von verschiedener +Bedeutung nicht angeben können, so können wir +auch nicht die Zusammensetzung des Elementarsatzes +angeben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.551} +{Unser Grundsatz ist, dass jede Frage, die sich +überhaupt durch die Logik entscheiden lässt, sich +ohne weiteres entscheiden lassen muss. + +(Und wenn wir in die Lage kommen, ein solches +Problem durch Ansehen der Welt beantworten zu +müssen, so zeigt dies, dass wir auf grundfalscher +Fährte sind.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.552} +{Die \glqq{}Erfahrung\grqq{}, die wir zum Verstehen der +Logik brauchen, ist nicht die, dass sich etwas so +und so verhält, sondern, dass etwas \emph{ist}: aber das +ist eben \emph{keine} Erfahrung. + +Die Logik ist \emph{vor} jeder Erfahrung---dass etwas +\emph{so} ist. + +Sie ist vor dem Wie, nicht vor dem Was.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5521} +{Und wenn dies nicht so wäre, wie könnten wir +die Logik anwenden? Man könnte sagen: Wenn +es eine Logik gäbe, auch wenn es keine Welt gäbe, +wie könnte es dann eine Logik geben, da es eine +Welt gibt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.553} +{Russell sagte, es gäbe einfache Relationen +zwischen verschiedenen Anzahlen von Dingen +(Individuals). Aber zwischen welchen Anzahlen? +Und wie soll sich das entscheiden?---Durch die +Erfahrung? + +(Eine ausgezeichnete Zahl gibt es nicht.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.554} +{Die Angabe jeder speziellen Form wäre vollkommen +willkürlich.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5541} +{Es soll sich a priori angeben lassen, ob ich \zumBeispiel\ in +die Lage kommen kann, etwas mit dem +Zeichen einer 27-stelligen Relation bezeichnen zu +müssen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5542} +{Dürfen wir denn aber überhaupt so fragen? +Können wir eine Zeichenform aufstellen und nicht +wissen, ob ihr etwas entsprechen könne? + +Hat die Frage einen Sinn: Was muss \emph{sein}, +damit etwas der-Fall-sein kann?} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.555} +{Es ist klar, wir haben vom Elementarsatz einen +Begriff, abgesehen von seiner besonderen logischen +Form. + +Wo man aber Symbole nach einem System +bilden kann, dort ist dieses System das logisch +wichtige und nicht die einzelnen Symbole. + +Und wie wäre es auch möglich, dass ich es in +der Logik mit Formen zu tun hätte, die ich erfinden +kann; sondern mit dem muss ich es zu tun haben, +was es mir möglich macht, sie zu erfinden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.556} +{Eine Hierarchie der Formen der Elementarsätze +kann es nicht geben. Nur was wir selbst +konstruieren, können wir voraussehen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5561} +{Die empirische Realität ist begrenzt durch die +Gesamtheit der Gegenstände. Die Grenze zeigt +sich wieder in der Gesamtheit der Elementarsätze. + +Die Hierarchien sind, und müssen unabhängig +von der Realität sein.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5562} +{Wissen wir aus rein logischen Gründen, dass +es Elementarsätze geben muss, dann muss es jeder +wissen, der die Sätze in ihrer unanalysierten Form +versteht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5563} +{Alle Sätze unserer Umgangssprache sind tatsächlich, +so wie sie sind, logisch vollkommen geordnet.---Jenes +Einfachste, was wir hier angeben sollen, +ist nicht ein Gleichnis der Wahrheit, sondern die +volle Wahrheit selbst. + +(Unsere Probleme sind nicht abstrakt, sondern +vielleicht die konkretesten, die es gibt.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.557} +{Die \emph{Anwendung} der Logik entscheidet +darüber, welche Elementarsätze es gibt. + +Was in der Anwendung liegt, kann die Logik +nicht vorausnehmen. + +Das ist klar: Die Logik darf mit ihrer Anwendung +nicht kollidieren. + +Aber die Logik muss sich mit ihrer Anwendung +berühren. + +Also dürfen die Logik und ihre Anwendung +einander nicht übergreifen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.5571} +{Wenn ich die Elementarsätze nicht a priori +angeben kann, dann muss es zu offenbarem Unsinn +führen, sie angeben zu wollen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.6} +{\emph{Die Grenzen meiner Sprache} bedeuten +die Grenzen meiner Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.61} +{Die Logik erfüllt die Welt; die Grenzen der +Welt sind auch ihre Grenzen. + +Wir können also in der Logik nicht sagen: Das +und das gibt es in der Welt, jenes nicht. + +Das würde nämlich scheinbar voraussetzen, dass +wir gewisse Möglichkeiten ausschliessen und dies +kann nicht der Fall sein, da sonst die Logik +über die Grenzen der Welt hinaus müsste; wenn +sie nämlich diese Grenzen auch von der anderen +Seite betrachten könnte. + +Was wir nicht denken können, das können wir +nicht denken; wir können also auch nicht \emph{sagen}, +was wir nicht denken können.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.62} +{Diese Bemerkung gibt den Schlüssel zur +Entscheidung der Frage, inwieweit der Solipsismus +eine Wahrheit ist. + +Was der Solipsismus nämlich \emph{meint}, ist ganz +richtig, nur lässt es sich nicht \emph{sagen}, sondern es +zeigt sich. + +Dass die Welt \emph{meine} Welt ist, das zeigt sich darin, +dass die Grenzen \emph{der} Sprache (der Sprache, die allein +ich verstehe) die Grenzen \emph{meiner} Welt bedeuten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.621} +{Die Welt und das Leben sind Eins.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.63} +{Ich bin meine Welt. (Der Mikrokosmos.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.631} +{Das denkende, vorstellende, Subjekt gibt es nicht. + +Wenn ich ein Buch schriebe \glqq{}Die Welt, wie ich +sie vorfand\grqq{}, so wäre darin auch über meinen Leib +zu berichten und zu sagen, welche Glieder meinem +Willen unterstehen und welche nicht etc., dies ist +nämlich eine Methode, das Subjekt zu isolieren, +oder vielmehr zu zeigen, dass es in einem wichtigen +Sinne kein Subjekt gibt: Von ihm allein nämlich +könnte in diesem Buche \emph{nicht} die Rede sein.---} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.632} +{Das Subjekt gehört nicht zur Welt, sondern es +ist eine Grenze der Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.633} +{Wo in der Welt ist ein \DPtypo{methaphysisches}{metaphysisches} Subjekt +zu merken? + +Du sagst, es verhält sich hier ganz, wie mit Auge +und Gesichtsfeld. Aber das Auge siehst du wirklich +\emph{nicht}. + +Und nichts \emph{am Gesichtsfeld} lässt darauf +schliessen, dass es von einem Auge gesehen wird.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.6331} +{Das Gesichtsfeld hat nämlich nicht etwa eine +solche Form: +\Illustration{sight-de} +} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.634} +{Das hängt damit zusammen, dass kein Teil +unserer Erfahrung auch a priori ist. + +Alles, was wir sehen, könnte auch anders +sein. + +Alles, was wir überhaupt beschreiben können, +könnte auch anders sein. + +Es gibt keine Ordnung der Dinge a priori.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.64} +{Hier sieht man, dass der Solipsismus, streng +durchgeführt, mit dem reinen Realismus zusammenfällt. +Das Ich des Solipsismus schrumpft zum +ausdehnungslosen Punkt zusammen, und es bleibt +die ihm koordinierte Realität.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{5.641} +{Es gibt also wirklich einen Sinn, in welchem in +der Philosophie nicht-psy\-cho\-lo\-gisch vom Ich die +Rede sein kann. + +Das Ich tritt in die Philosophie dadurch ein, +dass die \glqq{}Welt meine Welt ist\grqq{}. + +Das philosophische Ich ist nicht der Mensch, +nicht der menschliche Körper, oder die menschliche +Seele, von der die Psychologie handelt, sondern das +metaphysische Subjekt, die Grenze---nicht ein Teil +der Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6} +{Die allgemeine Form der Wahrheitsfunktion ist: +$[\overline{p}, \overline{\xi}, N(\overline{\xi})]$. + +Dies ist die allgemeine Form des Satzes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.001} +{Dies sagt nichts anderes, als dass jeder Satz ein +Resultat der successiven Anwendung der Operation +$N'(\overline{\xi})$ auf die Elementarsätze ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.002} +{Ist die allgemeine Form gegeben, wie ein Satz +gebaut ist, so ist damit auch schon die allgemeine +Form davon gegeben, wie aus einem Satz durch +eine Operation ein anderer erzeugt werden +kann.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.01} +{Die allgemeine Form der Operation $\Omega'(\overline{\eta})$ ist +also: $[\overline{\xi}, N(\overline{\xi})]'${}$(\overline{\eta})$ (=~[$\overline{\eta}$, $\overline{\xi}$, $N(\overline{\xi})$]). + +Das ist die allgemeinste Form des Überganges +von einem Satz zum anderen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.02} +{Und so kommen wir zu den Zahlen: Ich definiere +\begin{gather*} +x = \Omega^{0}{}' x \text{ Def.\ und}\\ +\Omega'\Omega^{\nu}{}'x = \Omega^{\nu+1}{}'x \text{ Def.} +\end{gather*} + +Nach diesen Zeichenregeln schreiben wir also +die Reihe $x$, $\Omega'x$, $\Omega'\Omega'x$, $\Omega'\Omega'\Omega'x$, $\fivedots$ +\[ +\text{so: }\Omega^{0}{}'x, \Omega^{0+1}{}'x, \Omega^{0+1+1}{}'x, \Omega^{0+1+1+1}{}'x, \fivedots +\] + +Also schreibe ich statt \glqq{}$[x, \xi, \Omega'\xi]$\grqq{}: +\[ +\text{\quotedblbase} [\Omega^{0}{}'x, \Omega^{\nu}{}'x, \Omega^{\nu+1}{}'x]\text{\grqq{}.} +\] + +Und definiere: +\[ +\begin{array}{l}\\ +0 + 1 = 1\text{ Def.}\\ +0 + 1 + 1 = 2\text{ Def.}\\ +0 + 1 + 1 + 1 = 3\text{ Def.}\\ +\text{(\undSoFort)} +\end{array} +\] +} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.021} +{Die Zahl ist der Exponent einer Operation.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.022} +{Der Zahlbegriff ist nichts anderes, als das +Gemeinsame aller Zahlen, die allgemeine Form +der Zahl. + +Der Zahlbegriff ist die variable Zahl. + +Und der Begriff der Zahlengleichheit ist die +allgemeine Form aller speziellen Zahlengleichheiten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.03} +{Die allgemeine Form der ganzen Zahl ist: +$[0, \xi, \xi + 1]$.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.031} +{Die Theorie der Klassen ist in der Mathematik +ganz überflüssig. + +Dies hängt damit zusammen, dass die Allgemeinheit, +welche wir in der Mathematik brauchen, +nicht die \emph{zufällige} ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1} +{Die Sätze der Logik sind Tautologien.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.11} +{Die Sätze der Logik sagen also Nichts. (Sie +sind die analytischen Sätze.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.111} +{Theorien, die einen Satz der Logik gehaltvoll +erscheinen lassen, sind immer falsch. Man könnte +\zumBeispiel\ glauben, dass die Worte \glqq{}wahr\grqq{} und \glqq{}falsch\grqq{} +zwei Eigenschaften unter anderen Eigenschaften +bezeichnen, und da erschiene es als eine merkwürdige +Tatsache, dass jeder Satz eine dieser +Eigenschaften besitzt. Das scheint nun nichts +weniger als selbstverständlich zu sein, ebensowenig +selbstverständlich, wie etwa der Satz, \glqq{}alle Rosen +sind entweder gelb oder rot\grqq{} klänge, auch wenn er +wahr wäre. Ja, jener Satz bekommt nun ganz +den Charakter eines naturwissenschaftlichen Satzes +und dies ist das sichere Anzeichen dafür, dass er +falsch aufgefasst wurde.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.112} +{Die richtige Erklärung der logischen Sätze +muss ihnen eine einzigartige Stellung unter allen +Sätzen geben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.113} +{Es ist das besondere Merkmal der logischen +Sätze, dass man am Symbol allein erkennen kann, +dass sie wahr sind, und diese Tatsache schliesst +die ganze Philosophie der Logik in sich. Und +so ist es auch eine der wichtigsten Tatsachen, dass +sich die Wahrheit oder Falschheit der nicht-logischen +Sätze \emph{nicht} am Satz allein erkennen +lässt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.12} +{Dass die Sätze der Logik Tautologien sind, +das \emph{zeigt} die for\-ma\-len---lo\-gi\-schen---Ei\-gen\-schaf\-ten +der Sprache, der Welt. + +Dass ihre Bestandteile \emph{so} verknüpft eine Tautologie +ergeben, das charakterisiert die Logik ihrer +Bestandteile. + +Damit Sätze, auf bestimmte Art und Weise +verknüpft, eine Tautologie ergeben, dazu müssen +sie bestimmte Eigenschaften der Struktur haben. +Dass sie \emph{so} verbunden eine Tautologie ergeben, +zeigt also, dass sie diese Eigenschaften der Struktur +besitzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1201} +{Dass \zumBeispiel\ die Sätze \glqq{}$p$\grqq{} und \glqq{}$\Not{p}$\grqq{} in der +Verbindung \glqq{}$\Not{(p \DotOp \Not{p})}$\grqq{} eine Tautologie ergeben, +zeigt, dass sie einander widersprechen. Dass +die Sätze \glqq{}$p \Implies q$\grqq{}, \glqq{}$p$\grqq{} und \glqq{}$q$\grqq{} in der Form +\glqq{}$(p \Implies q) \DotOp (p) : \Implies : (q)$\grqq{} miteinander verbunden eine +Tautologie ergeben, zeigt, dass $q$ aus $p$ und $p \Implies q$ +folgt. Dass \glqq{}$(x) \DotOp fx : \Implies : fa$\grqq{} eine Tautologie ist, +dass $fa$ aus $(x) \DotOp fx$ folgt.{} etc.\ etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1202} +{Es ist klar, dass man zu demselben Zweck statt +der Tautologien auch die Kontradiktionen verwenden +könnte.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1203} +{Um eine Tautologie als solche zu erkennen, +kann man sich, in den Fällen, in welchen in der +Tautologie keine Allgemeinheitsbezeichnung vorkommt, +folgender anschaulichen Methode bedienen: +Ich schreibe statt \glqq{}$p$\grqq{}, \glqq{}$q$\grqq{}, \glqq{}$r$\grqq{} etc.\ \glqq{}W$p$F\grqq{}, +\glqq{}W$q$F\grqq{}, \glqq{}W$r$F\grqq{} etc. Die Wahrheitskombinationen +drücke ich durch Klammern aus. +\zumBeispiel: +\Illustration[0.35\textwidth]{brackets01-de} +und die Zuordnung der Wahr- oder Falschheit des +ganzen Satzes und der Wahrheitskombinationen +der Wahrheitsargumente durch Striche auf +folgende Weise: +\Illustration[0.4\textwidth]{brackets02-de} +Dies Zeichen würde also \zumBeispiel\ den Satz $p \Implies q$ +darstellen. Nun will ich \zumBeispiel\ den Satz $\Not{(p \DotOp \Not{p})}$ +(Gesetz des Widerspruchs) daraufhin untersuchen, +ob er eine Tautologie ist. Die Form \glqq{}$\Not{\xi}$\grqq{} wird +in unserer Notation +\Illustration[0.1\textwidth]{brackets03-de} +geschrieben; die Form \glqq{}$\xi \DotOp \eta$\grqq{} so: +\Illustration[0.4\textwidth]{brackets04-de} +Daher lautet der Satz $\Not{(p \DotOp \Not{q})}$ so: +\Illustration{brackets05-de} +Setzen wir hier statt \glqq{}$q$\grqq{} \glqq{}$p$\grqq{} ein und untersuchen +die Verbindung der äussersten W und F mit den +innersten, so ergibt sich, dass die Wahrheit des +ganzen Satzes \emph{allen} Wahrheitskombinationen +seines Argumentes, seine Falschheit keiner der +Wahrheitskombinationen zugeordnet ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.121} +{Die Sätze der Logik demonstrieren die logischen +Eigenschaften der Sätze, indem sie sie zu nichtssagenden +Sätzen verbinden. + +Diese Methode könnte man auch eine Nullmethode +nennen. Im logischen Satz werden Sätze +miteinander ins Gleichgewicht gebracht und der +Zustand des Gleichgewichts zeigt dann an, wie +diese Sätze logisch beschaffen sein müssen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.122} +{Daraus ergibt sich, dass wir auch ohne die +logischen Sätze auskommen können, da wir ja in +einer entsprechenden Notation die formalen Eigenschaften +der Sätze durch das blosse Ansehen dieser +Sätze erkennen können.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1221} +{Ergeben \zumBeispiel\ zwei Sätze \glqq{}$p$\grqq{} und \glqq{}$q$\grqq{} in der +Verbindung \glqq{}$p \Implies q$\grqq{} eine Tautologie, so ist \DPtypo{kar}{klar}, +dass $q$ aus $p$ folgt. + +Dass \zumBeispiel\ \glqq{}$q$\grqq{} aus \glqq{}$p \Implies q \DotOp p$\grqq{} folgt, ersehen wir +aus diesen beiden Sätzen selbst, aber wir können +es auch \emph{so} zeigen, indem wir sie zu \glqq{}$p \Implies q \DotOp p : \Implies : q$\grqq{} +verbinden und nun zeigen, dass dies eine Tautologie +ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1222} +{Dies wirft ein Licht auf die Frage, warum die +logischen Sätze nicht durch die Erfahrung bestätigt +werden können, ebenso wenig, wie sie durch die +Erfahrung widerlegt werden können. Nicht nur +muss ein Satz der Logik durch keine mögliche Erfahrung +widerlegt werden können, sondern er darf auch +nicht durch eine solche bestätigt werden können.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1223} +{Nun wird klar, warum man oft fühlte, als wären +die \glqq{}logischen Wahrheiten\grqq{} von uns zu \glqq{}\emph{fordern}\grqq{}: +Wir können sie nämlich insofern fordern, als wir +eine genügende Notation fordern können.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1224} +{Es wird jetzt auch klar, warum die Logik die +Lehre von den Formen und vom Schliessen genannt +wurde.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.123} +{Es ist klar: Die logischen Gesetze dürfen nicht +selbst wieder logischen Gesetzen unterstehen. + +(Es gibt nicht, wie Russell meinte, für jede +\glqq{}Type\grqq{} ein eigenes Gesetz des Widerspruches, +sondern Eines genügt, da es auf sich selbst nicht +angewendet wird.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1231} +{Das Anzeichen des logischen Satzes ist \emph{nicht} +die Allgemeingültigkeit. + +Allgemein sein, heisst ja nur: Zufälligerweise +für alle Dinge gelten. Ein unverallgemeinerter +Satz kann ja ebensowohl tautologisch sein, als ein +verallgemeinerter.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1232} +{Die logische Allgemeingültigkeit könnte man +wesentlich nennen, im Gegensatz zu jener zufälligen, +etwa des Satzes \glqq{}alle Menschen sind sterblich\grqq{}. +Sätze, wie Russells \glqq{}Axiom of reducibility\grqq{} sind +nicht logische Sätze, und dies erklärt unser Gefühl: +Dass sie, wenn wahr, so doch nur durch einen +günstigen Zufall wahr sein könnten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1233} +{Es lässt sich eine Welt denken, in der das +Axiom of reducibility nicht gilt. Es ist aber klar, +dass die Logik nichts mit der Frage zu schaffen +hat, ob unsere Welt wirklich so ist oder nicht.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.124} +{Die logischen Sätze beschreiben das Gerüst der +Welt, oder vielmehr, sie stellen es dar. Sie +\glqq{}handeln\grqq{} von nichts. Sie setzen voraus, dass +Namen Bedeutung, und Elementarsätze Sinn +haben: Und dies ist ihre Verbindung mit der +Welt. Es ist klar, dass es etwas über die Welt +anzeigen muss, dass gewisse Verbindungen von +Symbolen---welche wesentlich einen bestimmten +Charakter haben---Tautologien sind. Hierin liegt +das Entscheidende. Wir sagten, manches an +den Symbolen, die wir gebrauchen, wäre willkürlich, +manches nicht. In der Logik drückt nur +dieses aus: Dass heisst aber, in der Logik drücken +nicht \emph{wir} mit Hilfe der Zeichen aus, was wir +wollen, sondern in der Logik sagt die Natur der +naturnotwendigen Zeichen selbst aus: Wenn wir die +logische Syntax irgend einer Zeichensprache kennen, +dann sind bereits alle Sätze der Logik gegeben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.125} +{Es ist möglich, und zwar auch nach der alten +Auffassung der Logik, von vornherein eine Beschreibung +aller \glqq{}wahren\grqq{} logischen Sätze zu geben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1251} +{Darum kann es in der Logik auch \emph{nie} Überraschungen +geben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.126} +{Ob ein Satz der Logik angehört, kann man +berechnen, indem man die logischen Eigenschaften +des \emph{Symbols} berechnet. + +Und dies tun wir, wenn wir einen logischen +Satz \glqq{}beweisen\grqq{}. Denn, ohne uns um einen Sinn +und eine Bedeutung zu kümmern, bilden wir den +logischen Satz aus anderen nach blossen \emph{Zeichenregeln}. + +Der Beweis der logischen Sätze besteht darin, +dass wir sie aus anderen logischen Sätzen durch +successive Anwendung gewisser Operationen entstehen +lassen, die aus den ersten immer wieder +Tautologien erzeugen. (Und zwar \emph{folgen} aus +einer Tautologie nur Tautologien.) + +Natürlich ist diese Art zu zeigen, dass ihre +Sätze Tautologien sind, der Logik durchaus unwesentlich. +Schon darum, weil die Sätze, von +welchen der Beweis ausgeht, ja ohne Beweis zeigen +müssen, dass sie Tautologien sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1261} +{In der Logik sind Prozess und Resultat äquivalent. +(Darum keine Überraschung.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1262} +{Der Beweis in der Logik ist nur ein mechanisches +Hilfsmittel zum leichteren Erkennen der +Tautologie, wo sie kompliziert ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1263} +{Es wäre ja auch zu merkwürdig, wenn man +einen sinnvollen Satz \emph{logisch} aus anderen beweisen +könnte, und einen logischen Satz \emph{auch}. +Es ist von vornherein klar, dass der logische +Beweis eines sinnvollen Satzes und der Beweis \emph{in} +der Logik zwei ganz verschiedene Dinge sein +müssen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1264} +{Der sinnvolle Satz sagt etwas aus, und sein +Beweis zeigt, dass es so ist; in der Logik ist jeder +Satz die Form eines Beweises. + +Jeder Satz der Logik ist ein in Zeichen dargestellter +modus ponens. (Und den modus ponens +kann man nicht durch einen Satz ausdrücken.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1265} +{Immer kann man die Logik so auffassen, dass +jeder Satz sein eigener Beweis ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.127} +{Alle Sätze der Logik sind gleichberechtigt, es +gibt unter ihnen nicht wesentlich Grundgesetze +und abgeleitete Sätze. + +Jede Tautologie zeigt selbst, dass sie eine +Tautologie ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.1271} +{Es ist klar, dass die Anzahl der \glqq{}logischen +Grundgesetze\grqq{} willkürlich ist, denn man könnte +die Logik ja aus Einem Grundgesetz ableiten, +indem man einfach \zumBeispiel\ aus Freges Grundgesetzen +das logische Produkt bildet. (Frege würde +vielleicht sagen, dass dieses Grundgesetz nun +nicht mehr unmittelbar einleuchte. Aber es ist +merkwürdig, dass ein so exakter Denker wie +Frege sich auf den Grad des Einleuchtens als +Kriterium des logischen Satzes berufen hat.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.13} +{Die Logik ist keine Lehre, sondern ein Spiegelbild +der Welt. + +Die Logik ist transcendental.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.2} +{Die Mathematik ist eine logische Methode. + +Die Sätze der Mathematik sind Gleichungen +also Scheinsätze.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.21} +{Der Satz der Mathematik drückt keinen Gedanken +aus.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.211} +{Im Leben ist es ja nie der mathematische Satz, +den wir brauchen, sondern wir benützen den +mathematischen Satz \emph{nur}, um aus Sätzen, welche +nicht der Mathematik angehören, auf andere zu +schliessen, welche gleichfalls nicht der Mathematik +angehören. + +(In der Philosophie führt die Frage \glqq{}wozu +gebrauchen wir eigentlich jenes Wort, jenen Satz\grqq{} +immer wieder zu wertvollen Einsichten.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.22} +{Die Logik der Welt, die die Sätze der Logik in +den Tautologien zeigen, zeigt die Mathematik in +den Gleichungen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.23} +{Wenn zwei Ausdrücke durch das Gleichheitszeichen +verbunden werden, so heisst das, sie sind +durch einander ersetzbar. Ob dies aber der Fall ist +muss sich an den beiden Ausdrücken selbst zeigen. + +Es charakterisiert die logische Form zweier Ausdrücke, +dass sie durch einander ersetzbar sind.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.231} +{Es ist eine Eigenschaft der Bejahung, dass man +sie als doppelte Verneinung auffassen kann. + +Es ist eine Eigenschaft von \glqq{}$1 + 1 + 1 + 1$\grqq{}, dass +man es als \glqq{}$(1 + 1) + (1 + 1)$\grqq{} auffassen kann.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.232} +{Frege sagt, die beiden Ausdrücke haben dieselbe +Bedeutung, aber verschiedenen Sinn. + +Das Wesentliche an der Gleichung ist aber, dass +sie nicht notwendig ist, um zu zeigen, dass die beiden +Ausdrücke, die das Gleichheitszeichen verbindet, +dieselbe Bedeutung haben, da sich dies aus den +beiden Ausdrücken selbst ersehen lässt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.2321} +{Und, dass die Sätze der Mathematik bewiesen +werden können, heisst ja nichts anderes, als dass +ihre Richtigkeit einzusehen ist, ohne dass das, was +sie ausdrücken, selbst mit den Tatsachen auf seine +Richtigkeit hin verglichen werden muss.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.2322} +{Die Identität der Bedeutung zweier Ausdrücke +lässt sich nicht \emph{behaupten}. Denn um etwas von +ihrer Bedeutung behaupten zu können, muss ich +ihre Bedeutung kennen: und indem ich ihre Bedeutung +kenne, weiss ich, ob sie dasselbe oder +verschiedenes bedeuten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.2323} +{Die Gleichung kennzeichnet nur den Standpunkt, +von welchem ich die beiden Ausdrücke +betrachte, nämlich vom Standpunkte ihrer Bedeutungsgleichheit.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.233} +{Die Frage, ob man zur Lösung der mathematischen +Probleme die Anschauung brauche, muss +dahin beantwortet werden, dass eben die Sprache +hier die nötige Anschauung liefert.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.2331} +{Der Vorgang des \emph{Rechnens} vermittelt eben +diese Anschauung. + +Die Rechnung ist kein Experiment.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.234} +{Die Mathematik ist eine Methode der Logik.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.2341} +{Das Wesentliche der mathematischen Methode +ist es, mit Gleichungen zu arbeiten. Auf dieser +Methode beruht es nämlich, dass jeder Satz der +Mathematik sich von selbst verstehen muss.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.24} +{Die Methode der Mathematik, zu ihren Gleichungen +zu kommen, ist die Substitutionsmethode. + +Denn die Gleichungen drücken die Ersetzbarkeit +zweier Ausdrücke aus und wir schreiten von einer +Anzahl von Gleichungen zu neuen Gleichungen +vor, indem wir, den Gleichungen entsprechend, +Ausdrücke durch andere ersetzen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.241} +{So lautet der Beweis des Satzes $2 \times 2 = 4$: +\begin{gather*} +(\Omega^{\nu})^{\mu}{}'x = \Omega^{\nu \times \mu}{}'x \text{ Def.}\\ +\begin{split} +\Omega^{2 \times 2}{}'x = (\Omega^{2})^{2}{}'x = (\Omega^{2})^{1 + 1}{}'x = \Omega^{2}{}'\Omega^{2}{}'x = \Omega^{1 + 1}{}'\Omega^{1 + 1}{}'x\\ += (\Omega'\Omega)'(\Omega'\Omega)'x = \Omega'\Omega'\Omega'\Omega'x = \Omega^{1 + 1 + 1 + 1}{}'x = \Omega^{4}{}'x. +\end{split} +\end{gather*} +} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.3} +{Die Erforschung der Logik bedeutet die Erforschung +\emph{aller Gesetzmässigkeit}. Und ausserhalb +der Logik ist alles Zufall.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.31} +{Das sogenannte Gesetz der Induktion kann +jedenfalls kein logisches Gesetz sein, denn es ist +offenbar ein sinnvoller Satz.---Und darum kann es +auch kein Gesetz a priori sein.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.32} +{Das Kausalitätsgesetz ist kein Gesetz, sondern +die Form eines Gesetzes.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.321} +{\glqq{}Kausalitätsgesetz\grqq{}, das ist ein Gattungsname. +Und wie es in der Mechanik, sagen wir, Minimum-Gesetze +gibt,---etwa der kleinsten Wir\-kung---so +gibt es in der Physik Kausalitätsgesetze, Gesetze +von der Kausalitätsform.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.3211} +{Man hat ja auch davon eine Ahnung gehabt, dass +es \emph{ein} \glqq{}Gesetz der kleinsten Wirkung\grqq{} geben müsse, +ehe man genau wuss\-te, wie es lautete. (Hier, wie +immer, stellt sich das a priori Gewisse als etwas +rein Logisches heraus.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.33} +{Wir \emph{glauben} nicht a priori an ein Erhaltungsgesetz, +sondern wir \emph{wissen} a priori die +Möglichkeit einer logischen Form.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.34} +{Alle jene Sätze, wie der Satz vom Grunde, von +der Kontinuität in der Natur, vom kleinsten Aufwande +in der Natur etc.\ etc., alle diese sind Einsichten +a priori über die mögliche Formgebung der +Sätze der Wissenschaft.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.341} +{Die Newtonsche Mechanik \zumBeispiel\ bringt die Weltbeschreibung +auf eine einheitliche Form. Denken +wir uns eine weisse Fläche, auf der unregelmässige +schwarze Flecken wären. Wir sagen nun: Was für +ein Bild immer hierdurch entsteht, immer kann ich +seiner Beschreibung beliebig nahe kommen, indem +ich die Fläche mit einem entsprechend feinen quadratischen +Netzwerk bedecke und nun von jedem +Quadrat sage, dass es weiss oder schwarz ist. Ich +werde auf diese Weise die Beschreibung der Fläche +auf eine einheitliche Form gebracht haben. Diese +Form ist beliebig, denn ich hätte mit dem gleichen +Erfolge ein Netz aus dreieckigen oder sechseckigen +Maschen verwenden können. Es kann sein, dass +die Beschreibung mit Hilfe eines Dreiecks-Netzes +einfacher geworden wäre; das heisst, dass wir die +Fläche mit einem gröberen Dreiecks-Netz genauer +beschreiben könnten, als mit einem feineren quadratischen +(oder umgekehrt) usw. Den verschiedenen +Netzen entsprechen verschiedene Systeme der +Weltbeschreibung. Die Mechanik bestimmt eine +Form der Weltbeschreibung, indem sie sagt: +Alle Sätze der Weltbeschreibung müssen aus einer +Anzahl gegebener Sätze---den mechanischen Axiomen---auf +eine gegebene Art und Weise erhalten +werden. Hierdurch liefert sie die Bausteine zum +Bau des wissenschaftlichen Gebäudes und sagt: +Welches Gebäude immer du aufführen willst, jedes +musst du irgendwie mit diesen und nur diesen +Bausteinen zusammenbringen. + +(Wie man mit dem Zahlensystem jede beliebige +Anzahl, so muss man mit dem System der +Mechanik jeden beliebigen Satz der Physik +hinschreiben können.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.342} +{Und nun sehen wir die gegenseitige Stellung +von Logik und Mechanik. (Man könnte das Netz +auch aus verschiedenartigen Figuren etwa aus +Dreie\discretionary{k-}{}{c}ken und Sechsecken bestehen lassen.) Dass +sich ein Bild, wie das vorhin erwähnte, durch ein +Netz von gegebener Form beschreiben lässt, sagt +über das Bild \emph{nichts} aus. (Denn dies gilt für +jedes Bild dieser Art.) \emph{Das} aber charakterisiert +das Bild, dass es sich durch ein bestimmtes Netz +von \emph{bestimmter} Feinheit \emph{vollständig} beschreiben +lässt. + +So auch sagt es nichts über die Welt aus, dass +sie sich durch die Newtonsche Mechanik beschreiben +lässt; wohl aber, dass sie sich \emph{so} durch +jene beschreiben lässt, wie dies eben der Fall ist. +Auch das sagt etwas über die Welt, dass sie sich +durch die eine Mechanik einfacher beschreiben +lässt, als durch die andere.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.343} +{Die Mechanik ist ein Versuch, alle \emph{wahren} +Sätze, die wir zur Weltbeschreibung brauchen, +nach Einem Plane zu konstruieren.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.3431} +{Durch den ganzen logischen Apparat hindurch +sprechen die physikalischen Gesetze doch von den +Gegenständen der Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.3432} +{Wir dürfen nicht vergessen, dass die Weltbeschreibung +durch die Mechanik immer die ganz +allgemeine ist. Es ist in ihr \zumBeispiel\ nie von +\emph{bestimmten} materiellen Punkten die Rede, +sondern immer nur von \emph{irgend welchen}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.35} +{Obwohl die Flecke in unserem Bild geometrische +Figuren sind, so kann doch selbstverständlich +die Geometrie gar nichts über ihre +tatsächliche Form und Lage sagen. Das Netz +aber ist \emph{rein} geometrisch, alle seine Eigenschaften +können a priori angegeben werden. + +Gesetze, wie der Satz vom Grunde, etc., handeln +vom Netz, nicht von dem, was das Netz beschreibt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.36} +{Wenn es ein Kausalitätsgesetz gäbe, so könnte +es lauten: \glqq{}Es gibt Naturgesetze\grqq{}. + +Aber freilich kann man das nicht sagen: es +zeigt sich.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.361} +{In der Ausdrucksweise Hertz's könnte man +sagen: Nur \emph{gesetzmässige} Zusammenhänge +sind \emph{denkbar}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.3611} +{Wir können keinen Vorgang mit dem \glqq{}Ablauf +der Zeit\grqq{} ver\-glei\-chen---diesen gibt es nicht---, +sondern nur mit einem anderen Vorgang (etwa +mit dem Gang des Chronometers). + +Daher ist die Beschreibung des zeitlichen +Verlaufs nur so möglich, dass wir uns auf einen +anderen Vorgang stützen. + +Ganz Analoges gilt für den Raum. Wo man +\zumBeispiel\ sagt, es könne keines von zwei Ereignissen +(die sich gegenseitig aus\-schlies\-sen) eintreten, weil +\emph{keine Ursache} vorhanden sei, warum das eine +eher als das andere eintreten solle, da handelt es +sich in Wirklichkeit darum, dass man gar nicht +\emph{eines} der beiden Ereignisse beschreiben kann, +wenn nicht irgend eine Asymmetrie vorhanden ist. +Und \emph{wenn} eine solche Asymmetrie vorhanden \emph{ist}, +so können wir diese als \emph{Ursache} des Eintreffens +des einen und Nicht-Eintreffens des anderen +auffassen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.36111} +{Das Kant'sche Problem von der rechten und +linken Hand, die man nicht zur Deckung bringen +kann, besteht schon in der Ebene, ja im eindimensionalen +Raum, wo die beiden kongruenten +Figuren $a$ und $b$ auch nicht zur Deckung gebracht +werden können, ohne aus diesem Raum +herausbewegt zu werden. Rechte und linke Hand +sind tatsächlich vollkommen kongruent. Und +dass man sie nicht zur Deckung bringen kann, +hat damit nichts zu tun. + +\Illustration[0.45\textwidth]{space} + +Den rechten Handschuh könnte man an die +linke Hand ziehen, wenn man ihn im vierdimensionalen +Raum umdrehen könnte.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.362} +{Was sich beschreiben lässt, das kann auch +geschehen, und was das Kausalitätsgesetz ausschliessen +soll, das lässt sich auch nicht beschreiben.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.363} +{Der Vorgang der Induktion besteht darin, dass +wir das \emph{einfachste} Gesetz annehmen, das mit +unseren Erfahrungen in Einklang zu bringen ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.3631} +{Dieser Vorgang hat aber keine logische, sondern +nur eine psychologische Begründung. + +Es ist klar, dass kein Grund vorhanden ist, zu +glauben, es werde nun auch wirklich der einfachste +Fall eintreten.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.36311} +{Dass die Sonne morgen aufgehen wird, ist eine +Hypothese; und das heisst: wir \emph{wissen} nicht, ob +sie aufgehen wird.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.37} +{Einen Zwang, nach dem Eines geschehen müsste, +weil etwas anderes geschehen ist, gibt es nicht. Es +gibt nur eine \emph{logische} Notwendigkeit.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.371} +{Der ganzen modernen Weltanschauung liegt die +Täuschung zugrunde, dass die sogenannten Naturgesetze +die Erklärungen der Naturerscheinungen +seien.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.372} +{So bleiben sie bei den Naturgesetzen als bei +etwas Unantastbarem stehen, wie die älteren bei +Gott und dem Schicksal. + +Und sie haben ja beide Recht, und Unrecht. Die +Alten sind allerdings insofern klarer, als sie einen +klaren Abschluss anerkennen, während es bei dem +neuen System scheinen soll, als sei \emph{alles} erklärt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.373} +{Die Welt ist unabhängig von meinem Willen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.374} +{Auch wenn alles, was wir wünschen, geschähe, +so wäre dies doch nur, sozusagen, eine Gnade des +Schicksals, denn es ist kein \emph{logischer} Zusammenhang +zwischen Willen und Welt, der dies +verbürgte, und den angenommenen physikalischen +Zusammenhang könnten wir doch nicht selbst +wieder wollen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.375} +{Wie es nur eine \emph{logische} Notwendigkeit gibt, +so gibt es auch nur eine \emph{logische} Unmöglichkeit.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.3751} +{Dass \zumBeispiel\ zwei Farben zugleich an einem Ort +des Gesichtsfeldes sind, ist unmöglich und zwar +logisch unmöglich, denn es ist durch die logische +Struktur der Farbe ausgeschlossen. + +Denken wir daran, wie sich dieser Widerspruch +in der Physik darstellt: Ungefähr so, dass ein +Teilchen nicht zu gleicher Zeit zwei Geschwindigkeiten +haben kann; das heisst, dass es nicht zu +gleicher Zeit an zwei Orten sein kann; das heisst, +dass Teilchen an verschiedenen Orten zu Einer Zeit +nicht identisch sein können. + +(Es ist klar, dass das logische Produkt zweier +Elementarsätze weder eine Tautologie noch eine +Kontradiktion sein kann. Die Aussage, dass ein +Punkt des Gesichtsfeldes zu gleicher Zeit zwei +verschiedene Farben hat, ist eine Kontradiktion.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.4} +{Alle Sätze sind gleichwertig.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.41} +{Der Sinn der Welt muss ausserhalb ihrer liegen. +In der Welt ist alles wie es ist und geschieht alles +wie es geschieht; es gibt \emph{in} ihr keinen Wert---und +wenn es ihn gäbe, so hätte er keinen Wert. + +Wenn es einen Wert gibt, der Wert hat, so muss +er ausserhalb alles Geschehens und So-Seins liegen. +Denn alles Geschehen und So-Sein ist zufällig. + +Was es nicht-zufällig macht, kann nicht \emph{in} der +Welt liegen, denn sonst wäre dies wieder zufällig. + +Es muss ausserhalb der Welt liegen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.42} +{Darum kann es auch keine Sätze der Ethik geben. + +Sätze können nichts Höheres ausdrücken.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.421} +{Es ist klar, dass sich die Ethik nicht aussprechen +lässt. + +Die Ethik ist \DPtypo{transscendental}{transcendental}. + +(Ethik und Aesthetik sind Eins.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.422} +{Der erste Gedanke bei der Aufstellung eines +ethischen Gesetzes von der Form \glqq{}du sollst $\fourdots$\grqq{} +ist: Und was dann, wenn ich es nicht tue? Es ist +aber klar, dass die Ethik nichts mit Strafe und +Lohn im gewöhnlichen Sinne zu tun hat. Also +muss diese Frage nach den \emph{Folgen} einer Handlung +belanglos sein.---Zum Mindesten dürfen diese +Folgen nicht Ereignisse sein. Denn etwas muss +doch an jener Fragestellung richtig sein. Es muss +zwar eine Art von ethischem Lohn und ethischer +Strafe geben, aber diese müssen in der Handlung +selbst liegen. + +(Und das ist auch klar, dass der Lohn etwas +Angenehmes, die Strafe etwas Unangenehmes sein +muss.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.423} +{Vom Willen als dem Träger des Ethischen kann +nicht gesprochen werden. + +Und der Wille als Phänomen interessiert nur +die Psychologie.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.43} +{Wenn das gute oder böse Wollen die Welt +ändert, so kann es nur die Grenzen der Welt ändern, +nicht die Tatsachen; nicht das, was durch die +Sprache ausgedrückt werden kann. + +Kurz, die Welt muss dann dadurch überhaupt +eine andere werden. Sie muss sozusagen als +Ganzes abnehmen oder zunehmen. + +Die Welt des Glücklichen ist eine andere als die +des Unglücklichen.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.431} +{Wie auch beim Tod die Welt sich nicht ändert, +sondern aufhört.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.4311} +{Der Tod ist kein Ereignis des Lebens. Den +Tod erlebt man nicht. + +Wenn man unter Ewigkeit nicht unendliche +Zeitdauer, sondern Unzeitlichkeit versteht, dann +lebt der ewig, der in der Gegenwart lebt. + +Unser Leben ist ebenso endlos, wie unser +Gesichtsfeld grenzenlos ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.4312} +{Die zeitliche Unsterblichkeit der Seele des +Menschen, das heisst also ihr ewiges Fortleben +auch nach dem Tode, ist nicht nur auf keine Weise +verbürgt, sondern vor allem leistet diese Annahme +gar nicht das, was man immer mit ihr erreichen +wollte. Wird denn dadurch ein Rätsel gelöst, dass +ich ewig fortlebe? Ist denn dieses ewige Leben +dann nicht ebenso rätselhaft wie das gegenwärtige? +Die Lösung des Rätsels des Lebens in Raum und +Zeit liegt \emph{ausserhalb} von Raum und Zeit. + +(Nicht Probleme der Naturwissenschaft sind ja +zu lösen.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.432} +{\emph{Wie} die Welt ist, ist für das Höhere vollkommen +gleichgültig. Gott offenbart sich nicht \emph{in} +der Welt.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.4321} +{Die Tatsachen gehören alle nur zur Aufgabe, +nicht zur Lösung.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.44} +{Nicht \emph{wie} die Welt ist, ist das Mystische, +sondern \emph{dass} sie ist.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.45} +{Die Anschauung der Welt sub specie aeterni +ist ihre Anschauung als---be\-grenz\-tes---Gan\-zes. + +Das Gefühl der Welt als begrenztes Ganzes ist +das mystische.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.5} +{Zu einer Antwort, die man nicht aussprechen +kann, kann man auch die Frage nicht aussprechen. + +\emph{Das Rätsel} gibt es nicht. + +Wenn sich eine Frage überhaupt stellen lässt, +so \emph{kann} sie auch beantwortet werden.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.51} +{Skeptizismus ist \emph{nicht} unwiderleglich, sondern +offenbar unsinnig, wenn er bezweifeln will, wo +nicht gefragt werden kann. + +Denn Zweifel kann nur bestehen, wo eine Frage +besteht; eine Frage nur, wo eine Antwort besteht, +und diese nur, wo etwas \emph{gesagt} werden \emph{kann}.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.52} +{Wir fühlen, dass selbst, wenn alle \emph{möglichen} +wissenschaftlichen Fragen beantwortet sind, unsere +Lebensprobleme noch gar nicht berührt sind. +Freilich bleibt dann eben keine Frage mehr; und +eben dies ist die Antwort.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.521} +{Die Lösung des Problems des Lebens merkt +man am Verschwinden dieses Problems. + +(Ist nicht dies der Grund, warum Menschen, +denen der Sinn des Lebens nach langen Zweifeln +klar wurde, warum diese dann nicht sagen konnten, +worin dieser Sinn bestand.)} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.522} +{Es gibt allerdings Unaussprechliches. Dies +\emph{zeigt} sich, es ist das Mystische.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.53} +{Die richtige Methode der Philosophie wäre +eigentlich die: Nichts zu sagen, als was sich sagen +lässt, also Sätze der Na\-tur\-wis\-sen\-schaft---also etwas, +was mit Philosophie nichts zu tun hat---, und dann +immer, wenn ein anderer etwas \DPtypo{Methaphysisches}{Metaphysisches} +sagen wollte, ihm nachzuweisen, dass er gewissen +Zeichen in seinen Sätzen keine Bedeutung gegeben +hat. Diese Methode wäre für den anderen un\-be\-frie\-di\-gend---er +hätte nicht das Gefühl, dass wir +ihn Philosophie lehrten---aber \emph{sie} wäre die einzig +streng richtige.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{6.54} +{Meine Sätze erläutern dadurch, dass sie der, +welcher mich versteht, am Ende als unsinnig +erkennt, wenn er durch sie---auf ihnen---über sie +hinausgestiegen ist. (Er muss sozusagen die Leiter +wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.) + +Er muss diese Sätze überwinden, dann sieht er +die Welt richtig.} +\pend + +\pstart +\PropositionG{7} +{Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss +man schweigen.} +\pend + +\endnumbering +\end{Leftside} + +\begin{Rightside} +\rightnoteupfalse +\beginnumbering + +\pstart +\PropositionE{1} +{The world is everything that is the case.\footnoteB{The decimal figures as numbers of the separate propositions indicate the logical +importance of the propositions, the emphasis laid upon them in my exposition. +The propositions \textit{n}.1, \textit{n}.2, \textit{n}.3, etc., are comments on proposition No.\;\textit{n}; the propositions +\textit{n}.\textit{m}1, \textit{n}.\textit{m}2, etc., are comments on the proposition No.\;\textit{n}.\textit{m}; and so on.}} +\pend + +\pstart +\PropositionE{1.1} +{The world is the totality of facts, not of +things.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{1.11} +{The world is determined by the facts, and by +these being \emph{all} the facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{1.12} +{For the totality of facts determines both what is +the case, and also all that is not the case.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{1.13} +{The facts in logical space are the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{1.2} +{The world divides into facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{1.21} +{Any one can either be the case or not be the +case, and everything else remain the same.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2} +{What is the case, the fact, is the existence of +atomic facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.01} +{An atomic fact is a combination of objects +(entities, things).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.011} +{It is essential to a thing that it can be a constituent +part of an atomic fact.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.012} +{In logic nothing is accidental: if a thing \emph{can} +occur in an atomic fact the possibility of that +atomic fact must already be prejudged in the +thing.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0121} +{It would, so to speak, appear as an accident, when +to a thing that could exist alone on its own account, +subsequently a state of affairs could be made to fit. + +If things can occur in atomic facts, this possibility +must already lie in them. + +(A logical entity cannot be merely possible. +Logic treats of every possibility, and all possibilities +are its facts.) + +Just as we cannot think of spatial objects at +all apart from space, or temporal objects apart +from time, so we cannot think of \emph{any} object apart +from the possibility of its connexion with other +things. + +If I can think of an object in the context of an +atomic fact, I cannot think of it apart from the +\emph{possibility} of this context.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0122} +{The thing is independent, in so far as it can +occur in all \emph{possible} circumstances, but this form +of independence is a form of connexion with the +atomic fact, a form of dependence. (It is impossible +for words to occur in two different ways, +alone and in the proposition.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0123} +{If I know an object, then I also know all the +possibilities of its occurrence in atomic facts. + +(Every such possibility must lie in the nature +of the object.) + +A new possibility cannot subsequently be +found.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.01231} +{In order to know an object, I must know not +its external but all its internal qualities.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0124} +{If all objects are given, then thereby are all +\emph{possible} atomic facts also given.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.013} +{Every thing is, as it were, in a space of possible +atomic facts. I can think of this space as empty, +but not of the thing without the space.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0131} +{A spatial object must lie in infinite space. +(A point in space is a place for an argument.) + +A speck in a visual field need not be red, +but it must have a colour; it has, so to speak, +a colour space round it. A tone must have \emph{a} +pitch, the object of the sense of touch \emph{a} hardness, +etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.014} +{Objects contain the possibility of all states of +affairs.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0141} +{The possibility of its occurrence in atomic facts +is the form of the object.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.02} +{The object is simple.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0201} +{Every statement about complexes can be analysed +into a statement about their constituent parts, and +into those propositions which completely describe +the complexes.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.021} +{Objects form the substance of the world. +Therefore they cannot be compound.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0211} +{If the world had no substance, then whether +a proposition had sense would depend on whether +another proposition was true.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0212} +{It would then be impossible to form a picture +of the world (true or false).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.022} +{It is clear that however different from the real +one an imagined world may be, it must have something---a +form---in common with the real world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.023} +{This fixed form consists of the objects.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0231} +{The substance of the world \emph{can} only determine +a form and not any material properties. For these +are first presented by the propositions---first formed +by the configuration of the objects.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0232} +{Roughly speaking: objects are colourless.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0233} +{Two objects of the same logical form are---apart +from their external prop\-er\-ties---only differentiated +from one another in that they are +different.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.02331} +{Either a thing has properties which no other +has, and then one can distinguish it straight away +from the others by a description and refer to it; +or, on the other hand, there are several things +which have the totality of their properties in +common, and then it is quite impossible to point +to any one of them. + +For if a thing is not distinguished by anything, +I cannot distinguish it---for otherwise it would be +distinguished.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.024} +{Substance is what exists independently of what +is the case.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.025} +{It is form and content.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0251} +{Space, time and colour (colouredness) are forms +of objects.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.026} +{Only if there are objects can there be a fixed +form of the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.027} +{The fixed, the existent and the object are +one.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0271} +{The object is the fixed, the existent; the configuration +is the changing, the variable.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.0272} +{The configuration of the objects forms the +atomic fact.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.03} +{In the atomic fact objects hang one in another, +like the members of a chain.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.031} +{In the atomic fact the objects are combined in +a definite way.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.032} +{The way in which objects hang together in +the atomic fact is the structure of the atomic +fact.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.033} +{The form is the possibility of the structure.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.034} +{The structure of the fact consists of the structures +of the atomic facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.04} +{The totality of existent atomic facts is the +world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.05} +{The totality of existent atomic facts also determines +which atom\-ic facts do not exist.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.06} +{The existence and non-existence of atomic facts +is the reality. + +(The existence of atomic facts we also call +a positive fact, their non-existence a negative +fact.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.061} +{Atomic facts are independent of one another.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.062} +{From the existence or non-existence of an +atomic fact we cannot infer the existence or non-existence +of another.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.063} +{The total reality is the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.1} +{We make to ourselves pictures of facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.11} +{The picture presents the facts in logical space, +the existence and non-ex\-is\-tence of atomic +facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.12} +{The picture is a model of reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.13} +{To the objects correspond in the picture the +elements of the picture.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.131} +{The elements of the picture stand, in the picture, +for the objects.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.14} +{The picture consists in the fact that its elements +are combined with one another in a definite way.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.141} +{The picture is a fact.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.15} +{That the elements of the picture are combined +with one another in a definite way, represents that +the things are so combined with one another. + +This connexion of the elements of the picture is +called its structure, and the possibility of this structure +is called the form of representation of the picture.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.151} +{The form of representation is the possibility that +the things are combined with one another as are +the elements of the picture.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.1511} +{Thus the picture is linked with reality; it reaches +up to it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.1512} +{It is like a scale applied to reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.15121} +{Only the outermost points of the dividing lines +\emph{touch} the object to be measured.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.1513} +{According to this view the representing relation +which makes it a picture, also belongs to the +picture.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.1514} +{The representing relation consists of the co-ordinations +of the elements of the picture and the +things.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.1515} +{These co-ordinations are as it were the feelers of +its elements with which the picture touches +reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.16} +{In order to be a picture a fact must have something +in common with what it pictures.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.161} +{In the picture and the pictured there must be +something identical in order that the one can be a +picture of the other at all.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.17} +{What the picture must have in common with +reality in order to be able to represent it after its +manner---rightly or falsely---is its form of representation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.171} +{The picture can represent every reality whose +form it has. + +The spatial picture, everything spatial, the +coloured, everything coloured, etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.172} +{The picture, however, cannot represent its form +of representation; it shows it forth.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.173} +{The picture represents its object from without +(its standpoint is its form of representation), therefore +the picture represents its object rightly or +falsely.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.174} +{But the picture cannot place itself outside of its +form of representation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.18} +{What every picture, of whatever form, must +have in common with reality in order to be able to +represent it at all---rightly or falsely---is the logical +form, that is, the form of reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.181} +{If the form of representation is the logical form, +then the picture is called a logical picture.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.182} +{Every picture is \emph{also} a logical picture. (On the +other hand, for example, not every picture is spatial.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.19} +{The logical picture can depict the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.2} +{The picture has the logical form of representation +in common with what it pictures.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.201} +{The picture depicts reality by representing a +possibility of the existence and non-existence of +atomic facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.202} +{The picture represents a possible state of affairs +in logical space.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.203} +{The picture contains the possibility of the state +of affairs which it represents.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.21} +{The picture agrees with reality or not; it is +right or wrong, true or false.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.22} +{The picture represents what it represents, independently +of its truth or falsehood, through the +form of representation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.221} +{What the picture represents is its sense.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.222} +{In the agreement or disagreement of its sense +with reality, its truth or falsity consists.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.223} +{In order to discover whether the picture is true +or false we must compare it with reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.224} +{It cannot be discovered from the picture alone +whether it is true or false.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{2.225} +{There is no picture which is a priori true.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3} +{The logical picture of the facts is the +thought.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.001} +{``An atomic fact is thinkable''---means: we can +imagine it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.01} +{The totality of true thoughts is a picture of the +world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.02} +{The thought contains the possibility of the state +of affairs which it thinks. + +What is thinkable is also possible.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.03} +{We cannot think anything unlogical, for otherwise +we should have to think unlogically.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.031} +{It used to be said that God could create everything, +except what was contrary to the laws of logic. +The truth is, we could not \emph{say} of an ``unlogical'' +world how it would look.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.032} +{To present in language anything which +``contradicts logic'' is as impossible as in +geometry to present by its co-ordinates a figure +which contradicts the laws of space; or to give +the co-ordinates of a point which does not +exist.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.0321} +{We could present spatially an atomic fact which +contradicted the laws of physics, but not one which +contradicted the laws of geometry.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.04} +{An a priori true thought would be one whose +possibility guaranteed its truth.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.05} +{We could only know a priori that a thought +is true if its truth was to be recognized from +the thought itself (without an object of comparison).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.1} +{In the proposition the thought is expressed +perceptibly through the senses.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.11} +{We use the sensibly perceptible sign (sound or +written sign, etc.) of the proposition as a projection +of the possible state of affairs. + +The method of projection is the thinking of +the sense of the proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.12} +{The sign through which we express the thought +I call the propositional sign. And the proposition +is the propositional sign in its projective +relation to the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.13} +{To the proposition belongs everything which +belongs to the projection; but not what is projected. + +Therefore the possibility of what is projected but +not this itself. + +In the proposition, therefore, its sense is not yet +contained, but the possibility of expressing it. + +(``The content of the proposition'' means the +content of the significant proposition.) + +In the proposition the form of its sense is +contained, but not its content.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.14} +{The propositional sign consists in the fact that +its elements, the words, are combined in it in a +definite way. + +The propositional sign is a fact.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.141} +{The proposition is not a mixture of words +(just as the musical theme is not a mixture of +tones). + +The proposition is articulate.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.142} +{Only facts can express a sense, a class of names +cannot.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.143} +{That the propositional sign is a fact is concealed +by the ordinary form of expression, written or +printed. + +(For in the printed proposition, for example, the +sign of a proposition does not appear essentially +different from a word. Thus it was possible for +Frege to call the proposition a compounded +name.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.1431} +{The essential nature of the propositional sign +becomes very clear when we imagine it made up +of spatial objects (such as tables, chairs, books) +instead of written signs. + +The mutual spatial position of these things then +expresses the sense of the proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.1432} +{We must not say, ``The complex sign `$aRb$' +says `$a$ stands in relation $R$ to $b$'{}''; but we must +say, ``\emph{That} `$a$' stands in a certain relation to `$b$' +says \emph{that $aRb$}''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.144} +{States of affairs can be described but not +\emph{named}. + +(Names resemble points; propositions resemble +arrows, they have sense.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.2} +{In propositions thoughts can be so expressed +that to the objects of the thoughts correspond the +elements of the propositional sign.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.201} +{These elements I call ``simple signs'' and the +proposition ``completely analysed''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.202} +{The simple signs employed in propositions are +called names.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.203} +{The name means the object. The object is its +meaning. (``$A$'' is the same sign as ``$A$''.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.21} +{To the configuration of the simple signs in the +propositional sign corresponds the configuration +of the objects in the state of affairs.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.22} +{In the proposition the name represents the object.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.221} +{Objects I can only \emph{name}. Signs represent them. +I can only speak \emph{of} them. I cannot \emph{assert them}. +A proposition can only say \emph{how} a thing is, not +\emph{what} it is.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.23} +{The postulate of the possibility of the simple +signs is the postulate of the determinateness of +the sense.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.24} +{A proposition about a complex stands in +internal relation to the proposition about its +constituent part. + +A complex can only be given by its description, +and this will either be right or wrong. The proposition +in which there is mention of a complex, +if this does not exist, becomes not nonsense but +simply false. + +That a propositional element signifies a complex +can be seen from an indeterminateness in the propositions +in which it occurs. We \emph{know} that everything +is not yet determined by this proposition. +(The notation for generality \emph{contains} a prototype.) + +The combination of the symbols of a complex +in a simple symbol can be expressed by a definition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.25} +{There is one and only one complete analysis of +the proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.251} +{The proposition expresses what it expresses in +a definite and clearly specifiable way: the proposition +is articulate.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.26} +{The name cannot be analysed further by any +definition. It is a primitive sign.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.261} +{Every defined sign signifies \emph{via} those signs +by which it is defined, and the definitions show +the way. + +Two signs, one a primitive sign, and one +defined by primitive signs, cannot signify in the +same way. Names \emph{cannot} be taken to pieces by +definition (nor any sign which alone and independently +has a meaning).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.262} +{What does not get expressed in the sign is +shown by its application. What the signs conceal, +their application declares.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.263} +{The meanings of primitive signs can be +explained by elucidations. Elucidations are propositions +which contain the primitive signs. They +can, therefore, only be understood when the +meanings of these signs are already known.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.3} +{Only the proposition has sense; only in the +context of a proposition has a name meaning.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.31} +{Every part of a proposition which characterizes +its sense I call an expression (a symbol). + +(The proposition itself is an expression.) + +Expressions are everything---essential for the +sense of the prop\-o\-si\-tion---that propositions can +have in common with one another. + +An expression characterizes a form and a +content.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.311} +{An expression presupposes the forms of all +propositions in which it can occur. It is the +common characteristic mark of a class of propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.312} +{It is therefore represented by the general form +of the propositions which it characterizes. + +And in this form the expression is \emph{constant} and +everything else \emph{variable}.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.313} +{An expression is thus presented by a variable, +whose values are the propositions which contain +the expression. + +(In the limiting case the variables become +constants, the expression a proposition.) + +I call such a variable a ``propositional variable''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.314} +{An expression has meaning only in a proposition. +Every variable can be conceived as a +propositional variable. + +(Including the variable name.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.315} +{If we change a constituent part of a proposition +into a variable, there is a class of propositions +which are all the values of the resulting variable +proposition. This class in general still depends +on what, by arbitrary agreement, we mean by +parts of that proposition. But if we change all +those signs, whose meaning was arbitrarily determined, +into variables, there always remains such +a class. But this is now no longer dependent on +any agreement; it depends only on the nature of +the proposition. It corresponds to a logical form, +to a logical prototype.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.316} +{What values the propositional variable can +assume is determined. + +The determination of the values \emph{is} the variable.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.317} +{The determination of the values of the propositional +variable is done by \emph{indicating the propositions} +whose common mark the variable is. + +The determination is a description of these +propositions. + +The determination will therefore deal only with +symbols not with their meaning. + +And \emph{only} this is essential to the determination, +\emph{that it is only a description of symbols and asserts +nothing about what is symbolized}. + +The way in which we describe the propositions +is not essential.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.318} +{I conceive the proposition---like Frege and +Russell---as a function of the expressions contained +in it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.32} +{The sign is the part of the symbol perceptible +by the senses.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.321} +{Two different symbols can therefore have the +sign (the written sign or the sound sign) in +common---they then signify in different ways.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.322} +{It can never indicate the common characteristic +of two objects that we symbolize them with the +same signs but by different \emph{methods of symbolizing}. +For the sign is arbitrary. We could therefore +equally well choose two different signs and +where then would be what was common in the +symbolization.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.323} +{In the language of everyday life it very often +happens that the same word signifies in two different +ways---and therefore belongs to two different +symbols---or that two words, which signify in +different ways, are apparently applied in the same +way in the proposition. + +Thus the word ``is'' appears as the copula, +as the sign of equality, and as the expression of +existence; ``to exist'' as an intransitive verb like +``to go''; ``identical'' as an adjective; we speak +of \emph{something} but also of the fact of \emph{something} +happening. + +(In the proposition ``Green is green''---where +the first word is a proper name and the last an +adjective---these words have not merely different +meanings but they are \emph{different symbols}.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.324} +{Thus there easily arise the most fundamental +confusions (of which the whole of philosophy is +full).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.325} +{In order to avoid these errors, we must employ +a symbolism which excludes them, by not applying +the same sign in different symbols and by +not applying signs in the same way which signify +in different ways. A symbolism, that is to say, +which obeys the rules of \emph{logical} grammar---of logical +syntax. + +(The logical symbolism of Frege and Russell +is such a language, which, however, does still not +exclude all errors.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.326} +{In order to recognize the symbol in the sign +we must consider the significant use.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.327} +{The sign determines a logical form only together +with its logical syntactic application.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.328} +{If a sign is \emph{not necessary} then it is meaningless. +That is the meaning of Occam's razor. + +(If everything in the symbolism works as +though a sign had meaning, then it has meaning.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.33} +{In logical syntax the meaning of a sign ought +never to play a rôle; it must admit of being +established without mention being thereby made +of the \emph{meaning} of a sign; it ought to presuppose +\emph{only} the description of the expressions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.331} +{From this observation we get a further view---into +Russell's \emph{Theory of Types}. Russell's error is +shown by the fact that in drawing up his symbolic +rules he has to speak of the meaning of +the signs.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.332} +{No proposition can say anything about itself, +because the propositional sign cannot be contained +in itself (that is the ``whole theory of types'').} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.333} +{A function cannot be its own argument, because +the functional sign already contains the prototype +of its own argument and it cannot contain +itself. + +If, for example, we suppose that the function +$F(fx)$ could be its own argument, then there would +be a proposition ``$F(F(fx))$'', and in this the outer +function $F$ and the inner function $F$ must have +different meanings; for the inner has the form +$\phi(fx)$, the outer the form $\psi(\phi(fx))$. Common to +both functions is only the letter ``$F$'', which by +itself signifies nothing.} + +This is at once clear, if instead of ``$F(F(u))$'' we +write ``$(\exists\phi) : F(\phi u) \DotOp \phi u = Fu$''. + +Herewith Russell's paradox vanishes. +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.334} +{The rules of logical syntax must follow of themselves, +if we only know how every single sign +signifies.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.34} +{A proposition possesses essential and accidental +features. + +Accidental are the features which are due to a +particular way of producing the propositional sign. +Essential are those which alone enable the proposition +to express its sense.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.341} +{The essential in a proposition is therefore that +which is common to all propositions which can +express the same sense. + +And in the same way in general the essential in +a symbol is that which all symbols which can +fulfil the same purpose have in common.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.3411} +{One could therefore say the real name is that +which all symbols, which signify an object, have +in common. It would then follow, step by step, +that no sort of composition was essential for a name.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.342} +{In our notations there is indeed something +arbitrary, but \emph{this} is not arbitrary, namely that +\emph{if} we have determined anything arbitrarily, then +something else \emph{must} be the case. (This results +from the \emph{essence} of the notation.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.3421} +{A particular method of symbolizing may be +unimportant, but it is always important that this +is a \emph{possible} method of symbolizing. And this +happens as a rule in philosophy: The single +thing proves over and over again to be unimportant, +but the possibility of every single thing reveals +something about the nature of the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.343} +{Definitions are rules for the translation of one +language into another. Every correct symbolism +must be translatable into every other according +to such rules. It is \emph{this} which all have in +common.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.344} +{What signifies in the symbol is what is +common to all those symbols by which it can +be replaced according to the rules of logical +syntax.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.3441} +{We can, for example, express what is common to +all notations for the truth-functions as follows: It +is common to them that they all, for example, \emph{can +be replaced} by the notations of ``$\Not{p}$'' (``not $p$'') +and ``$p \lor q$'' (``$p$ or $q$''). + +(Herewith is indicated the way in which a special +possible notation can give us general information.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.3442} +{The sign of the complex is not arbitrarily +resolved in the analysis, in such a way that its +resolution would be different in every propositional +structure.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.4} +{The proposition determines a place in logical +space: the existence of this logical place is guaranteed +by the existence of the constituent parts alone, +by the existence of the significant proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.41} +{The propositional sign and the logical co-ordinates: +that is the logical place.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.411} +{The geometrical and the logical place agree in +that each is the possibility of an existence.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.42} +{Although a proposition may only determine +one place in logical space, the whole logical space +must already be given by it. + +(Otherwise denial, the logical sum, the logical +product, etc., would always introduce new elements---in +co-ordination.) + +(The logical scaffolding round the picture determines +the logical space. The proposition reaches +through the whole logical space.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{3.5} +{The applied, thought, propositional sign is the +thought.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4} +{The thought is the significant proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.001} +{The totality of propositions is the language.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.002} +{Man possesses the capacity of constructing +languages, in which every sense can be expressed, +without having an idea how and what each word +means---just as one speaks without knowing how +the single sounds are produced. + +Colloquial language is a part of the human +organism and is not less complicated than it. + +From it it is humanly impossible to gather +immediately the logic of language. + +Language disguises the thought; so that from +the external form of the clothes one cannot infer +the form of the thought they clothe, because the +external form of the clothes is constructed with +quite another object than to let the form of the +body be recognized. + +The silent adjustments to understand colloquial +language are enormously complicated.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.003} +{Most propositions and questions, that have been +written about philosophical matters, are not false, but +senseless. We cannot, therefore, answer questions +of this kind at all, but only state their senselessness. +Most questions and propositions of the philosophers +result from the fact that we do not understand the +logic of our language. + +(They are of the same kind as the question +whether the Good is more or less identical than the +Beautiful.) + +And so it is not to be wondered at that the +deepest problems are really \emph{no} problems.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.0031} +{All philosophy is ``Critique of language'' (but +not at all in Mauthner's sense). Russell's merit is +to have shown that the apparent logical form of the +proposition need not be its real form.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.01} +{The proposition is a picture of reality. + +The proposition is a model of the reality as we +think it is.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.011} +{At the first glance the proposition---say as it +stands printed on paper---does not seem to be a +picture of the reality of which it treats. But nor +does the musical score appear at first sight to be a +picture of a musical piece; nor does our phonetic +spelling (letters) seem to be a picture of our spoken +language. And yet these symbolisms prove to be +pictures---even in the ordinary sense of the word---of +what they represent.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.012} +{It is obvious that we perceive a proposition +of the form $aRb$ as a picture. Here the sign is +obviously a likeness of the signified.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.013} +{And if we penetrate to the essence of this +pictorial nature we see that this is not disturbed +by \emph{apparent irregularities} (like the use of $\sharp$ and $\flat$ in +the score). + +For these irregularities also picture what they +are to express; only in another way.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.014} +{The gramophone record, the musical thought, +the score, the waves of sound, all stand to one +another in that pictorial internal relation, which +holds between language and the world. To all of +them the logical structure is common. + +(Like the two youths, their two horses and their +lilies in the story. They are all in a certain sense +one.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.0141} +{In the fact that there is a general rule by which +the musician is able to read the symphony out of +the score, and that there is a rule by which one +could reconstruct the symphony from the line on +a gramophone record and from this again---by +means of the first rule---construct the score, herein +lies the internal similarity between these things +which at first sight seem to be entirely different. +And the rule is the law of projection which projects +the symphony into the language of the musical +score. It is the rule of translation of this language +into the language of the gramophone record.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.015} +{The possibility of all similes, of all the +imagery of our language, rests on the logic of +representation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.016} +{In order to understand the essence of the +proposition, consider hieroglyphic writing, which +pictures the facts it describes. + +And from it came the alphabet without the +essence of the representation being lost.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.02} +{This we see from the fact that we understand +the sense of the propositional sign, without having +had it explained to us.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.021} +{The proposition is a picture of reality, for I know +the state of affairs presented by it, if I understand +the proposition. And I understand the proposition, +without its sense having been explained to me.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.022} +{The proposition \emph{shows} its sense. + +The proposition \emph{shows} how things stand, \emph{if} it is +true. And it \emph{says}, that they do so stand.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.023} +{The proposition determines reality to this +extent, that one only needs to say ``Yes'' or +``No'' to it to make it agree with reality. + +It must therefore be completely described by +the proposition. + +A proposition is the description of a fact. + +As the description of an object describes it by +its external properties so propositions describe +reality by its internal properties. + +The proposition constructs a world with the +help of a logical scaffolding, and therefore one +can actually see in the proposition all the logical +features possessed by reality if it is true. One can +\emph{draw conclusions} from a false proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.024} +{To understand a proposition means to know +what is the case, if it is true. + +(One can therefore understand it without +knowing whether it is true or not.) + +One understands it if one understands its +constituent parts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.025} +{The translation of one language into another +is not a process of translating each proposition +of the one into a proposition of the other, but +only the constituent parts of propositions are +translated. + +(And the dictionary does not only translate +substantives but also adverbs and conjunctions, +etc., and it treats them all alike.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.026} +{The meanings of the simple signs (the words) +must be explained to us, if we are to understand +them. + +By means of propositions we explain ourselves.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.027} +{It is essential to propositions, that they can +communicate a \emph{new} sense to us.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.03} +{A proposition must communicate a new sense +with old words. + +The proposition communicates to us a state of +affairs, therefore it must be \emph{essentially} connected +with the state of affairs. + +And the connexion is, in fact, that it is its +logical picture. + +The proposition only asserts something, in so +far as it is a picture.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.031} +{In the proposition a state of affairs is, as it +were, put together for the sake of experiment. + +One can say, instead of, This proposition has +such and such a sense, This proposition represents +such and such a state of affairs.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.0311} +{One name stands for one thing, and another +for another thing, and they are connected together. +And so the whole, like a living picture, presents +the atomic fact.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.0312} +{The possibility of propositions is based upon the +principle of the representation of objects by signs. + +My fundamental thought is that the ``logical +constants'' do not represent. That the \emph{logic} of the +facts cannot be represented.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.032} +{The proposition is a picture of its state of +affairs, only in so far as it is logically articulated. + +(Even the proposition ``ambulo'' is composite, +for its stem gives a different sense with another +termination, or its termination with another +stem.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.04} +{In the proposition there must be exactly as +many things distinguishable as there are in the +state of affairs, which it represents. + +They must both possess the same logical +(mathematical) multiplicity (cf. Hertz's Mechanics, +on Dynamic Models).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.041} +{This mathematical multiplicity naturally cannot +in its turn be represented. One cannot get outside +it in the representation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.0411} +{If we tried, for example, to express what is +expressed by ``$(x) \DotOp fx$'' by putting an index before +$fx$, like: ``Gen. $fx$'', it would not do, we should +not know what was generalized. If we tried to +show it by an index $g$, like: ``$f(x_{g})$'' it would not +do---we should not know the scope of the generalization. + +If we were to try it by introducing a mark +in the argument places, like ``$(G,G) \DotOp F(G,G)$'', it +would not do---we could not determine the identity +of the variables, etc. + +All these ways of symbolizing are inadequate +because they have not the necessary mathematical +multiplicity.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.0412} +{For the same reason the idealist explanation of +the seeing of spatial relations through ``spatial +spectacles'' does not do, because it cannot explain +the multiplicity of these relations.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.05} +{Reality is compared with the proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.06} +{Propositions can be true or false only by being +pictures of the reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.061} +{If one does not observe that propositions have +a sense independent of the facts, one can easily +believe that true and false are two relations +between signs and things signified with equal +rights. + +One could then, for example, say that ``$p$'' +signifies in the true way what ``$\Not{p}$'' signifies in +the false way, etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.062} +{Can we not make ourselves understood by +means of false propositions as hitherto with true +ones, so long as we know that they are meant to +be false? No! For a proposition is true, if +what we assert by means of it is the case; and if +by ``$p$'' we mean $\Not{p}$, and what we mean is the +case, then ``$p$'' in the new conception is true +and not false.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.0621} +{That, however, the signs ``$p$'' and ``$\Not{p}$'' \emph{can} +say the same thing is important, for it shows +that the sign ``$\Not{}$'' corresponds to nothing in +reality. + +That negation occurs in a proposition, is no +characteristic of its sense ($\Not{\Not{p = p}}$). + +The propositions ``$p$'' and ``$\Not{p}$'' have opposite +senses, but to them corresponds one and +the same reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.063} +{An illustration to explain the concept of truth. +A black spot on white paper; the form of the spot +can be described by saying of each point of the +plane whether it is white or black. To the fact +that a point is black corresponds a positive fact; +to the fact that a point is white (not black), a +negative fact. If I indicate a point of the plane +(a truth-value in Frege's terminology), this corresponds +to the assumption proposed for judgment, +etc.\ etc. + +But to be able to say that a point is black or +white, I must first know under what conditions a +point is called white or black; in order to be able +to say ``$p$'' is true (or false) I must have determined +under what conditions I call ``$p$'' true, +and thereby I determine the sense of the proposition. + +The point at which the simile breaks down is +this: we can indicate a point on the paper, without +knowing what white and black are; but to a proposition +without a sense corresponds nothing at +all, for it signifies no thing (truth-value) whose +properties are called ``false'' or ``true''; the verb +of the proposition is not ``is true'' or ``is false''---as +Frege thought---but that which ``is true'' must +already contain the verb.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.064} +{Every proposition must \emph{already} have a sense; +assertion cannot give it a sense, for what it asserts +is the sense itself. And the same holds of +denial, etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.0641} +{One could say, the denial is already related to +the logical place determined by the proposition +that is denied. + +The denying proposition determines a logical +place \emph{other} than does the proposition denied. + +The denying proposition determines a logical +place, with the help of the logical place of the +proposition denied, by saying that it lies outside +the latter place. + +That one can deny again the denied proposition, +shows that what is denied is already a proposition +and not merely the preliminary to a +proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1} +{A proposition presents the existence and non-existence +of atomic facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.11} +{The totality of true propositions is the total +natural science (or the totality of the natural +sciences).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.111} +{Philosophy is not one of the natural +sciences. + +(The word ``philosophy'' must mean something +which stands above or below, but not beside the +natural sciences.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.112} +{The object of philosophy is the logical clarification +of thoughts. + +Philosophy is not a theory but an activity. + +A philosophical work consists essentially of +elucidations. + +The result of philosophy is not a number of +``philosophical propositions'', but to make propositions +clear. + +Philosophy should make clear and delimit +sharply the thoughts which otherwise are, as it +were, opaque and blurred.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1121} +{Psychology is no nearer related to philosophy, +than is any other natural science. + +The theory of knowledge is the philosophy of +psychology. + +Does not my study of sign-language correspond +to the study of thought processes which philosophers +held to be so essential to the philosophy of logic? +Only they got entangled for the most part in unessential +psychological investigations, and there +is an analogous danger for my method.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1122} +{The Darwinian theory has no more to do with +philosophy than has any other hypothesis of natural +science.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.113} +{Philosophy limits the disputable sphere of natural +science.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.114} +{It should limit the thinkable and thereby the +unthinkable. + +It should limit the unthinkable from within +through the thinkable.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.115} +{It will mean the unspeakable by clearly displaying +the speakable.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.116} +{Everything that can be thought at all can be +thought clearly. Everything that can be said can +be said clearly.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.12} +{Propositions can represent the whole reality, +but they cannot represent what they must have in +common with reality in order to be able to represent +it---the logical form. + +To be able to represent the logical form, we +should have to be able to put ourselves with the +propositions outside logic, that is outside the +world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.121} +{Propositions cannot represent the logical form: +this mirrors itself in the propositions. + +That which mirrors itself in language, language +cannot represent. + +That which expresses \emph{itself} in language, \emph{we} +cannot express by language. + +The propositions \emph{show} the logical form of reality. + +They exhibit it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1211} +{Thus a proposition ``$fa$'' shows that in its sense +the object $a$ occurs, two propositions ``$fa$'' and +``$ga$'' that they are both about the same object. + +If two propositions contradict one another, this +is shown by their structure; similarly if one follows +from another, etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1212} +{What \emph{can} be shown \emph{cannot} be said.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1213} +{Now we understand our feeling that we are in +possession of the right logical conception, if only +all is right in our symbolism.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.122} +{We can speak in a certain sense of formal +properties of objects and atomic facts, or of properties +of the structure of facts, and in the same +sense of formal relations and relations of +structures. + +(Instead of property of the structure I also say +``internal property''; instead of relation of structures +``internal relation''. + +I introduce these expressions in order to show +the reason for the confusion, very widespread +among philosophers, between internal relations +and proper (external) relations.) + +The holding of such internal properties and relations +cannot, however, be asserted by propositions, +but it shows itself in the propositions, which +present the atomic facts and treat of the objects in +question.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1221} +{An internal property of a fact we also call a +feature of this fact. (In the sense in which we +speak of facial features.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.123} +{A property is internal if it is unthinkable that +its object does not possess it. + +(This blue colour and that stand in the internal +relation of brighter and darker eo ipso. It is +unthinkable that \emph{these} two objects should not stand +in this relation.) + +(Here to the shifting use of the words ``property'' +and ``relation'' there corresponds the shifting use +of the word ``object''.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.124} +{The existence of an internal property of a possible +state of affairs is not expressed by a proposition, +but it expresses itself in the proposition which +presents that state of affairs, by an internal property +of this proposition. + +It would be as senseless to ascribe a formal +property to a proposition as to deny it the formal +property.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1241} +{One cannot distinguish forms from one another +by saying that one has this property but the other +that: for this assumes that there is a sense in asserting +either property of either form.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.125} +{The existence of an internal relation between +possible states of affairs expresses itself in language +by an internal relation between the propositions +presenting them.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1251} +{Here the disputed question ``whether all relations +are internal or external'' disappears.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1252} +{Series which are ordered by \emph{internal} relations I +call formal series. + +The series of numbers is ordered not by an +external, but by an internal relation. + +Similarly the series of propositions $aRb$, +$(\exists x) : aRx \DotOp xRb, (\exists x,y) : aRx \DotOp aRy \DotOp yRb$ etc. + +(If $b$ stands in one of these relations to $a$, I call +$b$ a successor of $a$.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.126} +{In the sense in which we speak of formal +properties we can now speak also of formal +concepts. + +(I introduce this expression in order to make +clear the confusion of formal concepts with proper +concepts which runs through the whole of the old +logic.) + +That anything falls under a formal concept as +an object belonging to it, cannot be expressed by +a proposition. But it shows itself in the sign of +this object itself. (The name shows that it signifies +an object, the numerical sign that it signifies a +number, etc.) + +Formal concepts cannot, like proper concepts, +be presented by a function. + +For their characteristics, the formal properties, +are not expressed by the functions. + +The expression of a formal property is a feature +of certain symbols. + +The sign that signifies the characteristics of a +formal concept is, therefore, a characteristic feature +of all symbols, whose meanings fall under the +concept. + +The expression of the formal concept is therefore +a propositional variable in which only this +characteristic feature is constant.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.127} +{The propositional variable signifies the formal +concept, and its values signify the objects which +fall under this concept.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1271} +{Every variable is the sign of a formal +concept. + +For every variable presents a constant form, +which all its values possess, and which can +be conceived as a formal property of these +values.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1272} +{So the variable name ``$x$'' is the proper sign of +the pseudo-concept \emph{object}. + +Wherever the word ``object'' (``thing'', ``entity'', +etc.) is rightly used, it is expressed in logical +symbolism by the variable name. + +For example in the proposition ``there are two +objects which\ \ldots'', by ``$(\exists x,y)$\ \ldots''. + +Wherever it is used otherwise, \idEst\ as a proper +concept word, there arise senseless pseudo-propositions. + +So one cannot, \exempliGratia\ say ``There are objects'' +as one says ``There are books''. Nor ``There +are 100 objects'' or ``There are $\aleph_0$ objects''. And +it is senseless to speak of the \emph{number of all +objects}. + +The same holds of the words ``Complex'', +``Fact'', ``Function'', ``Number'', etc. + +They all signify formal concepts and are +presented in logical symbolism by variables, not +by functions or classes (as Frege and Russell +thought). + +Expressions like ``1 is a number'', ``there is +only one number nought'', and all like them are +senseless. + +(It is as senseless to say, ``there is only one 1'' +as it would be to say: 2 + 2 is at 3 o'clock equal +to 4.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.12721} +{The formal concept is already given with an +object, which falls under it. One cannot, therefore, +introduce both, the objects which fall under +a formal concept \emph{and} the formal concept itself, +as primitive ideas. One cannot, therefore, \exempliGratia\ introduce +(as Russell does) the concept of function +and also special functions as primitive ideas; or +the concept of number and definite numbers.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1273} +{If we want to express in logical symbolism +the general proposition ``$b$ is a successor of $a$'' +we need for this an expression for the general +term of the formal series: $aRb$, $(\exists x) : aRx \DotOp xRb$, +$(\exists x,y) : aRx \DotOp xRy \DotOp yRb$,\;\ldots\ The general term of +a formal series can only be expressed by a +variable, for the concept symbolized by ``term of +this formal series'' is a \emph{formal} concept. (This +Frege and Russell overlooked; the way in +which they express general propositions like the +above is, therefore, false; it contains a vicious +circle.) + +We can determine the general term of the +formal series by giving its first term and the +general form of the operation, which generates +the following term out of the preceding proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.1274} +{The question about the existence of a formal +concept is senseless. For no proposition can +answer such a question. + +(For example, one cannot ask: ``Are there +unanalysable sub\-ject-pre\-di\-cate propositions?'')} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.128} +{The logical forms are \emph{anumerical}. + +Therefore there are in logic no pre-eminent +numbers, and therefore there is no philosophical +monism or dualism, etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.2} +{The sense of a proposition is its agreement +and disagreement with the possibilities of the +existence and non-existence of the atomic +facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.21} +{The simplest proposition, the elementary proposition, +asserts the existence of an atomic fact.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.211} +{It is a sign of an elementary proposition, +that no elementary proposition can contradict +it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.22} +{The elementary proposition consists of names. +It is a connexion, a concatenation, of names.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.221} +{It is obvious that in the analysis of propositions +we must come to elementary propositions, which +consist of names in immediate combination. + +The question arises here, how the propositional +connexion comes to be.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.2211} +{Even if the world is infinitely complex, so +that every fact consists of an infinite number +of \DPtypo{atomatic}{atomic} facts and every atomic fact is +composed of an infinite number of objects, +even then there must be objects and atomic +facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.23} +{The name occurs in the proposition only in +the context of the elementary proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.24} +{The names are the simple symbols, I indicate +them by single letters ($x$, $y$, $z$). + +The elementary proposition I write as function +of the names, in the form ``$fx$'', ``$\phi(x,y)$'', etc. + +Or I indicate it by the letters $p$, $q$, $r$.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.241} +{If I use two signs with one and the same +meaning, I express this by putting between them +the sign ``=''. + +``$a = b$'' means then, that the sign ``$a$'' is +replaceable by the sign ``$b$''. + +(If I introduce by an equation a new sign ``$b$'', +by determining that it shall replace a previously +known sign ``$a$'', I write the equation---definition---(like +Russell) in the form ``$a = b$ Def.''. A +definition is a symbolic rule.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.242} +{Expressions of the form ``$a = b$'' are therefore only +expedients in presentation: They assert nothing +about the meaning of the signs ``$a$'' and ``$b$''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.243} +{Can we understand two names without knowing +whether they signify the same thing or two +different things? Can we understand a proposition +in which two names occur, without knowing if they +mean the same or different things? + +If I know the meaning of an English and a +synonymous German word, it is impossible for +me not to know that they are synonymous, it is +impossible for me not to be able to translate them +into one another. + +Expressions like ``$a = a$'', or expressions +deduced from these are neither elementary propositions +nor otherwise significant signs. (This +will be shown later.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.25} +{If the elementary proposition is true, the atomic +fact exists; if it is false the atomic fact does not +exist.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.26} +{The specification of all true elementary propositions +describes the world completely. The +world is completely described by the specification +of all elementary propositions plus the specification, +which of them are true and which false.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.27} +{With regard to the existence of $n$ atomic facts +there are $K_{n} = \sum\limits_{\nu = 0}^n\binom{n}{\nu}$ possibilities. + +It is possible for all combinations of atomic +facts to exist, and the others not to exist.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.28} +{To these combinations correspond the same +number of possibilities of the truth---and falsehood---of +$n$ elementary propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.3} +{The truth-possibilities of the elementary propositions +mean the possibilities of the existence +and non-existence of the atomic facts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.31} +{The truth-possibilities can be presented by +schemata of the following kind (``T'' means +``true'', ``F'' ``false''. The rows of T's and F's +under the row of the elementary propositions mean +their truth-possibilities in an easily intelligible +symbolism). + +% \begin{center} +% \begin{tabular}[t]{c|c|c} +% p & q & r\\ +% \hline +% \hline +% \Strut T & T & T\\ +% \hline +% \Strut F & T & T\\ +% \hline +% \Strut T & F & T\\ +% \hline +% \Strut T & T & F\\ +% \hline +% \Strut F & F & T\\ +% \hline +% \Strut F & T & F\\ +% \hline +% \Strut T & F & F\\ +% \hline +% \Strut F & F & F\\ +% \hline +% \end{tabular} +% \hspace{0.5cm} +% \begin{tabular}[t]{c|c} +% p & q\\ +% \hline +% \hline +% \Strut T & T\\ +% \hline +% \Strut F & T\\ +% \hline +% \Strut T & F\\ +% \hline +% \Strut F & F\\ +% \hline +% \end{tabular} +% \hspace{0.5cm} +% \begin{tabular}[t]{c} +% p\\ +% \hline +% \hline +% \Strut T\\ +% \hline +% \Strut F\\ +% \hline +% \end{tabular} +% \end{center} +} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.4} +{A proposition is the expression of agreement +and disagreement with the truth-pos\-si\-bil\-i\-ties of +the elementary propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.41} +{The truth-possibilities of the elementary propositions +are the conditions of the truth and +falsehood of the propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.411} +{It seems probable even at first sight that the +introduction of the elementary propositions is +fundamental for the comprehension of the other +kinds of propositions. Indeed the comprehension +of the general propositions depends \emph{palpably} on +that of the elementary propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.42} +{With regard to the agreement and disagreement +of a proposition with the truth-possibilities +of $n$ elementary propositions there +are $\sum\limits_{\kappa = 0}^{K_n}\binom{K_n}{\kappa} = L_{n}$ possibilities.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.43} +{Agreement with the truth-possibilities can be +expressed by co-or\-di\-na\-ting with them in the +schema the mark ``T'' (true). + +Absence of this mark means disagreement.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.431} +{The expression of the agreement and disagreement +with the truth-pos\-si\-bil\-i\-ties of the elementary +propositions expresses the truth-conditions of the +proposition. + +The proposition is the expression of its truth-conditions. + +(Frege has therefore quite rightly put them at +the beginning, as explaining the signs of his +logical symbolism. Only Frege's explanation +of the truth-concept is false: if ``the true'' and +``the false'' were real objects and the arguments +in $\Not{p}$, etc., then the sense of $\Not{p}$ would by no +means be determined by Frege's determination.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.44} +{The sign which arises from the co-ordination of +that mark ``T'' with the truth-pos\-si\-bil\-i\-ties is a +propositional sign.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.441} +{It is clear that to the complex of the signs ``F'' +and ``T'' no object (or complex of objects) corresponds; +any more than to horizontal and vertical +lines or to brackets. There are no ``logical +objects''. + +Something analogous holds of course for all +signs, which express the same as the schemata of +``T'' and ``F''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.442} +{Thus \exempliGratia\\ +% \phantom{Thus \exempliGratia} +% \raisebox{2.4\baselineskip}{``}\begin{tabular}{c|c|c} +% p & q &\\ +% \hline +% \hline +% \Strut T & T & T\\ +% \hline +% \Strut F & T & T\\ +% \hline +% \Strut T & F &\\ +% \hline +% \Strut F & F & T\\ +% \hline +% \end{tabular}\\ +% \phantom{Thus \exempliGratia\ ``\begin{tabular}[t]{c|c|c}F&F&T\end{tabular}} +% \smash[t]{\raisebox{1.2\baselineskip}{''}}is a propositional sign. + +(Frege's assertion sign ``$\vdash$'' is logically altogether +meaningless; in Frege (and Russell) it only shows +that these authors hold as true the propositions +marked in this way. + +``$\vdash$'' belongs therefore to the propositions no +more than does the number of the proposition. A +proposition cannot possibly assert of itself that it +is true.) + +If the sequence of the truth-possibilities in the +schema is once for all determined by a rule of +combination, then the last column is by itself an +expression of the truth-conditions. If we write +this column as a row the propositional sign becomes: +``(TT--T)($p$, $q$)'', or more plainly: ``(TTFT)($p$, $q$)''. + +(The number of places in the left-hand bracket +is determined by the number of terms in the right-hand +bracket.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.45} +{For $n$ elementary propositions there are $L_{n}$ +possible groups of truth-con\-di\-tions. + +The groups of truth-conditions which belong to +the truth-pos\-si\-bil\-i\-ties of a number of elementary +propositions can be ordered in a series.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.46} +{Among the possible groups of truth-conditions +there are two extreme cases. + +In the one case the proposition is true for all the +truth-pos\-si\-bil\-i\-ties of the elementary propositions. +We say that the truth-conditions are \emph{tautological}. + +In the second case the proposition is false for all +the truth-pos\-si\-bil\-i\-ties. The truth-conditions are +\emph{self-contradictory}. + +In the first case we call the proposition a +tautology, in the second case a contradiction.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.461} +{The proposition shows what it says, the +tautology and the contradiction that they say +nothing. + +The tautology has no truth-conditions, for it is +unconditionally true; and the contradiction is on +no condition true. + +Tautology and contradiction are without sense. + +(Like the point from which two arrows go out in +opposite directions.) + +(I know, \exempliGratia\ nothing about the weather, when +I know that it rains or does not rain.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.4611} +{Tautology and contradiction are, however, not +senseless; they are part of the symbolism, in the +same way that ``0'' is part of the symbolism of +Arithmetic.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.462} +{Tautology and contradiction are not pictures of +the reality. They present no possible state of +affairs. For the one allows \emph{every} possible state +of affairs, the other \emph{none}. + +In the tautology the conditions of agreement +with the world\AllowBreak---the presenting re\-la\-tions---cancel +one another, so that it stands in no presenting +relation to reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.463} +{The truth-conditions determine the range, which +is left to the facts by the proposition. + +(The proposition, the picture, the model, are in +a negative sense like a solid body, which restricts +the free movement of another: in a positive sense, +like the space limited by solid substance, in which +a body may be placed.) + +Tautology leaves to reality the whole infinite +logical space; contradiction fills the whole logical +space and leaves no point to reality. Neither of +them, therefore, can in any way determine +reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.464} +{The truth of tautology is certain, of propositions +possible, of contradiction impossible. (Certain, +possible, impossible: here we have an indication +of that gradation which we need in the theory of +probability.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.465} +{The logical product of a tautology and a proposition +says the same as the proposition. Therefore +that product is identical with the proposition. +For the essence of the symbol cannot be altered +without altering its sense.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.466} +{To a definite logical combination of signs +corresponds a definite logical combination of their +meanings; \emph{every arbitrary} combination only corresponds +to the unconnected signs. + +That is, propositions which are true for every +state of affairs cannot be combinations of signs at +all, for otherwise there could only correspond to +them definite combinations of objects. + +(And to no logical combination corresponds \emph{no} +combination of the objects.) + +Tautology and contradiction are the limiting +cases of the combinations of symbols, namely their +dissolution.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.4661} +{Of course the signs are also combined with one +another in the tautology and contradiction, \idEst\ they +stand in relations to one another, but these +relations are meaningless, unessential to the +\emph{symbol}.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.5} +{Now it appears to be possible to give the +most general form of proposition; \idEst\ to give a +description of the propositions of some one sign +language, so that every possible sense can be +expressed by a symbol, which falls under the +description, and so that every symbol which falls +under the description can express a sense, if +the meanings of the names are chosen accordingly. + +It is clear that in the description of the most +general form of proposition \emph{only} what is essential +to it may be described---otherwise it would not be +the most general form. + +That there is a general form is proved by the +fact that there cannot be a proposition whose +form could not have been foreseen (\idEst\ constructed). +The general form of proposition is: Such and +such is the case.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.51} +{Suppose \emph{all} elementary propositions were given +me: then we can simply ask: what propositions I +can build out of them. And these are \emph{all} propositions +and \emph{so} are they limited.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.52} +{The propositions are everything which follows +from the totality of all elementary propositions (of +course also from the fact that it is the \emph{totality of +them all}). (So, in some sense, one could say, that +\emph{all} propositions are generalizations of the elementary +propositions.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{4.53} +{The general propositional form is a variable.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5} +{Propositions are truth-functions of elementary +propositions. + +(An elementary proposition is a truth-function +of itself.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.01} +{The elementary propositions are the truth-arguments +of propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.02} +{It is natural to confuse the arguments of +functions with the indices of names. For I +recognize the meaning of the sign containing it +from the argument just as much as from the +index. + +In Russell's ``$\DPtypo{+}{+_{c}}$'', for example, ``$c$'' is an +index which indicates that the whole sign is the +addition sign for cardinal numbers. But this way +of symbolizing depends on arbitrary agreement, +and one could choose a simple sign instead of +``$+_{c}$'': but in ``$\Not{p}$'' ``$p$'' is not an index but +an argument; the sense of ``$\Not{p}$'' \emph{cannot} be understood, +unless the sense of ``$p$'' has previously been +understood. (In the name Julius Cæsar, Julius is +an index. The index is always part of a description +of the object to whose name we attach it, \exempliGratia\ \emph{The} +Cæsar of the Julian gens.) + +The confusion of argument and index is, if I +am not mistaken, at the root of Frege's theory +of the meaning of propositions and functions. For +Frege the propositions of logic were names and +their arguments the indices of these names.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.1} +{The truth-functions can be ordered in +series. + +That is the foundation of the theory of probability.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.101} +{The truth-functions of every number of elementary +propositions can be written in a schema of +the following kind: + +\footnotesize\noindent +\begin{center} +\begin{edtabularl} +(\texttt{T} \texttt{T} \texttt{T} \texttt{T})\,($p, q$)&Tautology&(if $p$ then $p$, and if $q$ then $q$) [$p \Implies p \DotOp q \Implies q$]\\ +(\texttt{F} \texttt{T} \texttt{T} \texttt{T})\,($p, q$)&in words:&Not both $p$ and $q$. [$\Not{(p \DotOp q)}$]\\ +(\texttt{T} \texttt{F} \texttt{T} \texttt{T})\,($p, q$)&\DittoInWords&If $q$ then $p$. [$q \Implies p$]\\ +(\texttt{T} \texttt{T} \texttt{F} \texttt{T})\,($p, q$)&\DittoInWords&If $p$ then $q$. [$p \Implies q$]\\ +(\texttt{T} \texttt{T} \texttt{T} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWords&$p$ or $q$. [$p \lor q$]\\ +(\texttt{F} \texttt{F} \texttt{T} \texttt{T})\,($p, q$)&\DittoInWords&Not $q$. [$\Not{q}$]\\ +(\texttt{F} \texttt{T} \texttt{F} \texttt{T})\,($p, q$)&\DittoInWords&Not $p$. [$\Not{p}$]\\ +(\texttt{F} \texttt{T} \texttt{T} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWords&$p$ or $q$, but not both. [$p \DotOp \Not{q} : \lor : q \DotOp \Not{p}$]\\ +(\texttt{T} \texttt{F} \texttt{F} \texttt{T})\,($p, q$)&\DittoInWords&If $p$, then $q$; and if $q$, then $p$. [$p \equiv q$]\\ +(\texttt{T} \texttt{F} \texttt{T} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWords&$p$\\ +(\texttt{T} \texttt{T} \texttt{F} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWords&$q$\\ +(\texttt{F} \texttt{F} \texttt{F} \texttt{T})\,($p, q$)&\DittoInWords&Neither $p$ nor $q$. [$\Not{p} \DotOp \Not{q}$ or $p \BarOp q$]\\ +(\texttt{F} \texttt{F} \texttt{T} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWords&$p$ and not $q$. [$p \DotOp \Not{q}$]\\ +(\texttt{F} \texttt{T} \texttt{F} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWords&$q$ and not $p$. [$q \DotOp \Not{p}$]\\ +(\texttt{T} \texttt{F} \texttt{F} \texttt{F})\,($p, q$)&\DittoInWords&$p$ and $q$. [$p \DotOp q$]\\ +(\texttt{F} \texttt{F} \texttt{F} \texttt{F})\,($p, q$)&Contradiction&($p$ and not $p$; and $q$ and not $q$.) [$p \DotOp \Not{p} \DotOp q \DotOp \Not{q}$]\\ +\end{edtabularl} +\end{center} + +\normalsize + +Those truth-possibilities of its truth-arguments, +which verify the proposition, I shall call its \emph{truth-grounds}.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.11} +{If the truth-grounds which are common to a +number of propositions are all also truth-grounds +of some one proposition, we say that the truth of +this proposition follows from the truth of those +propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.12} +{In particular the truth of a proposition $p$ follows +from that of a proposition $q$, if all the truth-grounds +of the second are truth-grounds of the +first.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.121} +{The truth-grounds of $q$ are contained in those +of $p$; $p$ follows from $q$.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.122} +{If $p$ follows from $q$, the sense of ``$p$'' is contained +in that of ``$q$''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.123} +{If a god creates a world in which certain propositions +are true, he creates thereby also a world +in which all propositions consequent on them are +true. And similarly he could not create a world +in which the proposition ``$p$'' is true without +creating all its objects.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.124} +{A proposition asserts every proposition which +follows from it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.1241} +{``$p \DotOp q$'' is one of the propositions which assert +``$p$'' and at the same time one of the propositions +which assert ``$q$''. + +Two propositions are opposed to one another +if there is no significant proposition which asserts +them both. + +Every proposition which contradicts another, +denies it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.13} +{That the truth of one proposition follows from +the truth of other propositions, we perceive from +the structure of the propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.131} +{If the truth of one proposition follows from the +truth of others, this expresses itself in relations in +which the forms of these propositions stand to one +another, and we do not need to put them in these +relations first by connecting them with one another +in a proposition; for these relations are internal, +and exist as soon as, and by the very fact that, +the propositions exist.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.1311} +{When we conclude from $p \lor q$ and $\Not{p}$ to $q$ the +relation between the forms of the propositions +``$p \lor q$'' and ``$\Not{p}$'' is here concealed by the method +of symbolizing. But if we write, \exempliGratia\ instead of +``$p \lor q$'' ``$p \BarOp q \DotOp \BarOp \DotOp p \BarOp q$'' and instead of ``$\Not{p}$'' +``$p \BarOp p$'' ($p \BarOp q$ = neither $p$ nor $q$), then the inner +connexion becomes obvious. + +(The fact that we can infer $fa$ from $(x) \DotOp fx$ shows +that generality is present also in the symbol +``$(x) \DotOp fx$''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.132} +{If $p$ follows from $q$, I can conclude from $q$ to $p$; +infer $p$ from $q$. + +The method of inference is to be understood +from the two propositions alone. + +Only they themselves can justify the inference. + +Laws of inference, which---as in Frege and +Russell---are to justify the conclusions, are senseless +and would be superfluous.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.133} +{All inference takes place a priori.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.134} +{From an elementary proposition no other can +be inferred.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.135} +{In no way can an inference be made from the +existence of one state of affairs to the existence of +another entirely different from it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.136} +{There is no causal nexus which justifies such +an inference.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.1361} +{The events of the future \emph{cannot} be inferred from +those of the present. + +Superstition is the belief in the causal +nexus.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.1362} +{The freedom of the will consists in the fact that +future actions cannot be known now. We could +only know them if causality were an \emph{inner} necessity, +like that of logical deduction.---The connexion +of knowledge and what is known is that of logical +necessity. + +(``A knows that $p$ is the case'' is senseless if $p$ +is a tautology.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.1363} +{If from the fact that a proposition is obvious +to us it does not \emph{follow} that it is true, then obviousness +is no justification for our belief in its truth.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.14} +{If a proposition follows from another, then the +latter says more than the former, the former less +than the latter.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.141} +{If $p$ follows from $q$ and $q$ from $p$ then they are +one and the same proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.142} +{A tautology follows from all propositions: it +says nothing.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.143} +{Contradiction is something shared by propositions, +which \emph{no} proposition has in common with +another. Tautology is that which is shared by +all propositions, which have nothing in common +with one another. + +Contradiction vanishes so to speak outside, +tautology inside all propositions. + +Contradiction is the external limit of the propositions, +tautology their substanceless centre.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.15} +{If $T_{r}$ is the number of the truth-grounds of the +proposition ``$r$'', $T_{rs}$ the number of those truth-grounds +of the proposition ``$s$'' which are at the +same time truth-grounds of ``$r$'', then we call the +ratio $T_{rs} : T_{r}$ the measure of the \emph{probability} which +the proposition ``$r$'' gives to the proposition ``$s$''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.151} +{Suppose in a schema like that above in No.~\PropERef{5.101} +$T_{r}$ is the number of the ``T'''s in the proposition +$r$, $T_{rs}$ the number of those ``T'''s in +the proposition $s$, which stand in the same columns +as ``T'''s of the proposition $r$; then the proposition +$r$ gives to the proposition $s$ the probability +$T_{rs} : T_{r}$.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.1511} +{There is no special object peculiar to probability +propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.152} +{Propositions which have no truth-arguments +in common with one another we call independent. + +Independent propositions (\exempliGratia\ any two elementary +propositions) give to one another the probability~$\frac{1}{2}$. + +If $p$ follows from $q$, the proposition $q$ gives +to the proposition $p$ the probability~1. The +certainty of logical conclusion is a limiting case +of probability. + +(Application to tautology and contradiction.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.153} +{A proposition is in itself neither probable nor +improbable. An event occurs or does not occur, +there is no middle course.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.154} +{In an urn there are equal numbers of white +and black balls (and no others). I draw one +ball after another and put them back in the +urn. Then I can determine by the experiment +that the numbers of the black and white balls +which are drawn approximate as the drawing +continues. + +So \emph{this} is not a mathematical fact. + +If then, I say, It is equally probable that +I should draw a white and a black ball, this +means, All the circumstances known to me (including +the natural laws hypothetically assumed) +give to the occurrence of the one event no more +probability than to the occurrence of the other. +That is they give---as can easily be understood +from the above explanations---to each the +probability~$\frac{1}{2}$. + +What I can verify by the experiment is that +the occurrence of the two events is independent +of the circumstances with which I have no closer +acquaintance.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.155} +{The unit of the probability proposition is: The +circumstances---with which I am not further acquainted---give +to the occurrence of a definite event +such and such a degree of probability.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.156} +{Probability is a generalization. + +It involves a general description of a propositional +form. Only in default of certainty do we +need probability. + +If we are not completely acquainted with a fact, +but know \emph{something} about its form. + +(A proposition can, indeed, be an incomplete +picture of a certain state of affairs, but it is always +\emph{a} complete picture.) + +The probability proposition is, as it were, an +extract from other propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.2} +{The structures of propositions stand to one +another in internal relations.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.21} +{We can bring out these internal relations in +our manner of expression, by presenting a proposition +as the result of an operation which produces +it from other propositions (the bases of the +operation).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.22} +{The operation is the expression of a relation +between the structures of its result and its +bases.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.23} +{The operation is that which must happen to a +proposition in order to make another out of it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.231} +{And that will naturally depend on their formal +properties, on the internal similarity of their +forms.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.232} +{The internal relation which orders a series is +equivalent to the operation by which one term +arises from another.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.233} +{The first place in which an operation can occur +is where a proposition arises from another in a +logically significant way; \idEst\ where the logical +construction of the proposition begins.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.234} +{The truth-functions of elementary \DPtypo{proposition}{propositions}, +are results of operations which have the elementary +propositions as bases. (I call these +operations, truth-operations.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.2341} +{The sense of a truth-function of $p$ is a function +of the sense of $p$. + +Denial, logical addition, logical multiplication, +etc.\ etc., are operations. + +(Denial reverses the sense of a proposition.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.24} +{An operation shows itself in a variable; it shows +how we can proceed from one form of proposition +to another. + +It gives expression to the difference between +the forms. + +(And that which is common to the bases, and +the result of an operation, is the bases themselves.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.241} +{The operation does not characterize a form but +only the difference between forms.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.242} +{The same operation which makes ``$q$'' from +``$p$'', makes ``$r$'' from ``$q$'', and so on. This +can only be expressed by the fact that ``$p$'', ``$q$'', +``$r$'', etc., are variables which give general expression +to certain formal relations.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.25} +{The occurrence of an operation does not characterize +the sense of a proposition. + +For an operation does not assert anything; only +its result does, and this depends on the bases of +the operation. + +(Operation and function must not be confused +with one another.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.251} +{A function cannot be its own argument, but +the result of an operation can be its own +basis.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.252} +{Only in this way is the progress from term +to term in a formal series possible (from type +to type in the hierarchy of Russell and Whitehead). +(Russell and Whitehead have not admitted +the possibility of this progress but have made use +of it all the same.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.2521} +{The repeated application of an operation to +its own result I call its successive application +(``$O' O' O' a$'' is the result of the threefold successive +application of ``$O' \xi$'' to ``$a$''). + +In a similar sense I speak of the successive +application of \emph{several} operations to a number of +propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.2522} +{The general term of the formal series $a, O' a, +O' O' a$,\;$\fourdots$\ I write thus: ``[$a$, $x$, $O' x$]''. This +expression in brackets is a variable. The first +term of the expression is the beginning of the +formal series, the second the form of an arbitrary +term $x$ of the series, and the third the form +of that term of the series which immediately +follows $x$.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.2523} +{The concept of the successive application of +an operation is equivalent to the concept ``and +so on''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.253} +{One operation can reverse the effect of another. +Operations can cancel one another.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.254} +{Operations can vanish (\exempliGratia\ denial in ``$\Not{\Not{p}}$''\DPtypo{.}{,} +$\Not{\Not{p}} = p$).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.3} +{All propositions are results of truth-operations +on the elementary propositions. + +The truth-operation is the way in which a +truth-function arises from elementary propositions. + +According to the nature of truth-operations, +in the same way as out of elementary propositions +arise their truth-functions, from truth-func\-tions +arises a new one. Every truth-operation +creates from truth-functions of elementary propositions +another truth-func\-tion of elementary +propositions, \idEst\ a proposition. The result of +every truth-operation on the results of truth-op\-er\-a\-tions +on elementary propositions is also +the result of \emph{one} truth-operation on elementary +propositions. + +Every proposition is the result of truth-operations +on elementary propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.31} +{The Schemata No.~\PropERef{4.31} are also significant, if +``$p$'', ``$q$'', ``$r$'', etc.\ are not elementary propositions. + +And it is easy to see that the propositional +sign in No.~\DPtypo{\PropERef{4.42}}{\PropERef{4.442}} expresses one truth-function of +elementary propositions even when ``$p$'' and +``$q$'' are truth-functions of elementary propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.32} +{All truth-functions are results of the successive +application of a finite number of truth-operations +to elementary propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.4} +{Here it becomes clear that there are no such +things as ``logical objects'' or ``logical constants'' +(in the sense of Frege and Russell).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.41} +{For all those results of truth-operations on truth-functions +are identical, which are one and the same +truth-function of elementary propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.42} +{That $\lor$, $\Implies$, etc., are not relations in the sense of +right and left, etc., is obvious. + +The possibility of crosswise definition of the +logical ``primitive signs'' of Frege and Russell +shows by itself that these are not primitive signs +and that they signify no relations. + +And it is obvious that the ``$\Implies$'' which we define +by means of ``$\Not{}$'' and ``$\lor$'' is identical with that +by which we define ``$\lor$'' with the help of ``$\Not{}$'', and +that this ``$\lor$'' is the same as the first, and +so on.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.43} +{That from a fact $p$ an infinite number of \emph{others} +should follow, namely $\Not{\Not{p}}$, $\Not{\Not{\Not{\Not{p}}}}$, etc., is +indeed hardly to be believed, and it is no less +wonderful that the infinite number of propositions +of logic (of mathematics) should follow from half +a dozen ``primitive propositions''. + +But all propositions of logic say the same thing. +That is, nothing.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.44} +{Truth-functions are not material functions. + +If \exempliGratia\ an affirmation can be produced by +repeated denial, is the denial---in any sense---contained +in the affirmation? + +Does ``$\Not{\Not{p}}$'' deny $\Not{p}$, or does it affirm $p$; +or both? + +The proposition ``$\Not{\Not{p}}$'' does not treat of +denial as an object, but the possibility of denial is +already prejudged in affirmation. + +And if there was an object called ``$\Not{}$'', then +``$\Not{\Not{p}}$'' would have to say something other than +``$p$''. For the one proposition would then treat +of $\Not{}$, the other would not.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.441} +{This disappearance of the apparent logical +constants also occurs if ``$\Not{(\exists x) \DotOp \Not{fx}}$'' says the +same as ``$(x) \DotOp fx$'', or ``$(\exists x) \DotOp fx \DotOp x = a$'' the same +as ``$fa$''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.442} +{If a proposition is given to us then the results +of all truth-operations which have it as their basis +are given \emph{with} it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.45} +{If there are logical primitive signs a correct logic +must make clear their position relative to one +another and justify their existence. The construction +of logic \emph{out of} its primitive signs must become +clear.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.451} +{If logic has primitive ideas these must be +independent of one another. If a primitive idea +is introduced it must be introduced in all contexts +in which it occurs at all. One cannot therefore +introduce it for \emph{one} context and then again for +another. For example, if denial is introduced, +we must understand it in propositions of the form +``$\Not{p}$'', just as in propositions like ``$\Not{(p \lor q)}$'', +``$(\exists x) \DotOp \Not{fx}$'' and others. We may not first +introduce it for one class of cases and then for +another, for it would then remain doubtful whether +its meaning in the two cases was the same, and +there would be no reason to use the same way of +symbolizing in the two cases. + +(In short, what Frege (``Grundgesetze der +Arithmetik'') has said about the introduction of +signs by definitions holds, mutatis mutandis, for +the introduction of primitive signs also.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.452} +{The introduction of a new expedient in the +symbolism of logic must always be an event full +of consequences. No new symbol may be introduced +in logic in brackets or in the margin---with, +so to speak, an entirely innocent face. + +(Thus in the ``Principia Mathematica'' of +Russell and Whitehead there occur definitions +and primitive propositions in words. Why suddenly +words here? This would need a justification. +There was none, and can be none for the +process is actually not allowed.) + +But if the introduction of a new expedient has +proved necessary in one place, we must immediately +ask: Where is this expedient \emph{always} to be +used? Its position in logic must be made +clear.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.453} +{All numbers in logic must be capable of +justification. + +Or rather it must become plain that there are +no numbers in logic. + +There are no pre-eminent numbers.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.454} +{In logic there is no side by side, there can be +no classification. + +In logic there cannot be a more general and a +more special.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.4541} +{The solution of logical problems must be simple +for they set the standard of simplicity. + +Men have always thought that there must be a +sphere of questions whose answers---a priori---are +symmetrical and united into a closed regular +structure. + +A sphere in which the proposition, simplex +sigillum veri, is valid.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.46} +{When we have rightly introduced the logical +signs, the sense of all their combinations has been +already introduced with them: therefore not only +``$p \lor q$'' but also ``$\Not{(p \lor \Not{q})}$'', etc.\ etc. We should +then already have introduced the effect of all +possible combinations of brackets; and it would +then have become clear that the proper general +primitive signs are not ``$p \lor q$'', ``$(\exists x) \DotOp fx$'', etc., +but the most general form of their combinations.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.461} +{The apparently unimportant fact that the apparent +relations like \DPtypo{$v$}{$\lor$} and $\Implies$ need brackets---unlike +real relations is of great importance. + +The use of brackets with these apparent primitive +signs shows that these are not the real +primitive signs; and nobody of course would +believe that the brackets have meaning by themselves.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.4611} +{Logical operation signs are punctuations.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.47} +{It is clear that everything which can be said +\emph{beforehand} about the form of \emph{all} propositions at +all can be said \emph{on one occasion}. + +For all logical operations are already contained +in the elementary proposition. For ``$fa$'' says +the same as ``$(\exists x) \DotOp fx \DotOp x = a$''. + +Where there is composition, there is argument +and function, and where these are, all logical +constants already are. + +One could say: the one logical constant is that +which \emph{all} propositions, according to their nature, +have in common with one another. + +That however is the general form of proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.471} +{The general form of proposition is the essence +of proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.4711} +{To give the essence of proposition means to +give the essence of all description, therefore the +essence of the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.472} +{The description of the most general propositional +form is the description of the one and only +general primitive sign in logic.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.473} +{Logic must take care of itself. + +A \emph{possible} sign must also be able to signify. +Everything which is possible in logic is also +permitted. (``Socrates is identical'' means nothing +because there is no property which is called +``identical''. The proposition is senseless because +we have not made some arbitrary determination, +not because the symbol is in itself unpermissible.) + +In a certain sense we cannot make mistakes in +logic.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.4731} +{Self-evidence, of which Russell has said so +much, can only be discarded in logic by language +itself preventing every logical mistake. That +logic is a priori consists in the fact that we \emph{cannot} +think illogically.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.4732} +{We cannot give a sign the wrong sense.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.47321} +{Occam's razor is, of course, not an arbitrary rule +nor one justified by its practical success. It simply +says that \emph{unnecessary} elements in a symbolism +mean nothing. + +Signs which serve \emph{one} purpose are logically +equivalent, signs which serve \emph{no} purpose are +logically meaningless.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.4733} +{Frege says: Every legitimately constructed +proposition must have a sense; and I say: Every +possible proposition is legitimately constructed, +and if it has no sense this can only be because +we have given no \emph{meaning} to some of its constituent +parts. + +(Even if we believe that we have done +so.) + +Thus ``Socrates is identical'' says nothing, +because we have given \emph{no} meaning to the word +``identical'' as \emph{adjective}. For when it occurs as +the sign of equality it symbolizes in an entirely +different way---the symbolizing relation is another---therefore +the symbol is in the two cases entirely +different; the two symbols have the sign in +common with one another only by accident.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.474} +{The number of necessary fundamental operations +depends \emph{only} on our notation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.475} +{It is only a question of constructing a system +of signs of a definite number of di\-men\-sions---of +a definite mathematical multiplicity.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.476} +{It is clear that we are not concerned here with +a \emph{number of primitive ideas} which must be signified +but with the expression of a rule.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5} +{Every truth-function is a result of the successive +application of the operation \mbox{(--\;--\;--\;--\;--T)}\AllowBreak($\xi, \fourdots$) to +elementary propositions. + +This operation denies all the propositions in +the right-hand bracket and I call it the negation +of these propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.501} +{An expression in brackets whose terms are +propositions I in\-di\-cate---if the order of the terms +in the bracket is indifferent---by a sign of the form +``($\overline{\xi}$)''. ``$\xi$'' is a variable whose values are the +terms of the expression in brackets, and the line +over the variable indicates that it stands for all +its values in the bracket. + +(Thus if $\xi$ has the 3 values P, Q, R, then +($\overline{\xi}$) = (P, Q, R).) + +The values of the variables must be determined. + +The determination is the description of the propositions +which the variable stands for. + +How the description of the terms of the expression +in brackets takes place is unessential. + +We may distinguish 3 kinds of description: +1.~Direct enumeration. In this case we can place +simply its constant values instead of the variable. +2.~Giving a function $fx$, whose values for all +values of $x$ are the propositions to be described. +3.~Giving a formal law, according to which those +propositions are constructed. In this case the +terms of the expression in brackets are all the +terms of a formal series.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.502} +{Therefore I write instead of \mbox{``(--\;--\;--\;--\;--T)}\AllowBreak($\xi, \fourdots$)'', +``$N(\overline{\xi})$''. + +$N(\overline{\xi})$ is the negation of all the values of the +propositional variable $\xi$.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.503} +{As it is obviously easy to express how propositions +can be constructed by means of this operation +and how propositions are not to be constructed by +means of it, this must be capable of exact expression.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.51} +{If $\xi$ has only one value, then $N(\overline{\xi}) = \Not{p}$ (not $p$), +if it has two values then $N(\overline{\xi}) = \Not{p} \DotOp \Not{q}$ (neither +$p$ nor $q$).} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.511} +{How can the all-embracing logic which mirrors +the world use such special catches and manipulations? +Only because all these are connected into +an infinitely fine network, to the great mirror.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.512} +{``$\Not{p}$'' is true if ``$p$'' is false. Therefore in the +true proposition ``$\Not{p}$'' ``$p$'' is a false proposition. +How then can the stroke ``$\Not{}$'' bring it into +agreement with reality? + +That which denies in ``$\Not{p}$'' is however not +``$\Not{}$'', but that which all signs of this notation, +which deny $p$, have in common. + +Hence the common rule according to which +``$\Not{p}$'', ``$\Not{\Not{\Not{p}}}$'', ``${\Not{p}} \lor {\Not{p}}$'', ``$\Not{p} \DotOp \Not{p}$'', +etc.\ etc.\ (to infinity) are constructed. And this +which is common to them all mirrors denial.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.513} +{We could say: What is common to all symbols, +which assert both $p$ and $q$, is the proposition +``$p \DotOp q$''. What is common to all symbols, which +assert either $p$ or $q$, is the proposition ``$p \lor q$''. + +And similarly we can say: Two propositions +are opposed to one another when they have +nothing in common with one another; and every +proposition has only one negative, because there +is only one proposition which lies altogether +outside it. + +Thus even in Russell's notation it is evident +that ``${q : p} \lor {\Not{p}}$'' says the same as ``$q$''; that +``$p \lor {\Not{p}}$'' says nothing.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.514} +{If a notation is fixed, there is in it a rule according +to which all the propositions denying $p$ are +constructed, a rule according to which all the +propositions asserting $p$ are constructed, a rule +according to which all the propositions asserting +$p$ or $q$ are constructed, and so on. These rules +are equivalent to the symbols and in them their +sense is mirrored.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.515} +{It must be recognized in our symbols that what +is connected by ``$\lor$'', ``$\DotOp$'', etc., must be propositions. + +And this is the case, for the symbols ``$p$'' and +``$q$'' presuppose ``$\lor$'', ``$\Not{}$'', etc. If the sign +``$p$'' in ``$p \lor q$'' does not stand for a complex sign, +then by itself it cannot have sense; but then also +the signs ``$p \lor p$'', ``$p \DotOp p$'', etc.\ which have the +same sense as ``$p$'' have no sense. If, however, +``$p \lor p$'' has no sense, then also ``$p \lor q$'' can have +no sense.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5151} +{Must the sign of the negative proposition be +constructed by means of the sign of the positive? +Why should one not be able to express the +negative proposition by means of a negative fact? +(Like: if ``$a$'' does not stand in a certain relation +to ``$b$'', it could express that $aRb$ is not the case.) + +But here also the negative proposition is indirectly +constructed with the positive. + +The positive \emph{proposition} must presuppose the +existence of the negative \emph{proposition} and conversely.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.52} +{If the values of $\xi$ are the total values of a function +$fx$ for all values of $x$, then $N(\overline{\xi}) = \Not{(\exists x) \DotOp fx}$.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.521} +{I separate the concept \emph{all} from the truth-function. + +Frege and Russell have introduced generality +in connexion with the logical product or the logical +sum. Then it would be difficult to understand +the propositions ``$(\exists x) \DotOp fx$'' and ``$(x) \DotOp fx$'' in which +both ideas lie concealed.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.522} +{That which is peculiar to the ``symbolism of +generality'' is firstly, that it refers to a logical +prototype, and secondly, that it makes constants +prominent.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.523} +{The generality symbol occurs as an argument.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.524} +{If the objects are given, therewith are \emph{all} objects +also given. + +If the elementary propositions are given, then +therewith \emph{all} elementary propositions are also +given.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.525} +{It is not correct to render the proposition +``$(\exists x) \DotOp fx$''---as Russell does---in words ``$fx$ is +\emph{possible}''. + +Certainty, possibility or impossibility of a state +of affairs are not expressed by a proposition but +by the fact that an expression is a tautology, a +significant proposition or a contradiction. + +That precedent to which one would always +appeal, must be present in the symbol itself.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.526} +{One can describe the world completely by +completely generalized propositions, \idEst\ without +from the outset co-ordinating any name with a +definite object. + +In order then to arrive at the customary way +of expression we need simply say after an expression +``there is one and only one $x$, which $\fourdots$'': +and this $x$ is $a$.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5261} +{A completely generalized proposition is like +every other proposition composite. (This is shown +by the fact that in ``$(\exists x, \phi) \DotOp \phi x$'' we must mention +``$\phi$'' and ``$x$'' separately. Both stand independently +in signifying relations to the world +as in the ungeneralized proposition.) + +A characteristic of a composite symbol: it has +something in common with \emph{other} symbols.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5262} +{The truth or falsehood of \emph{every} proposition alters +something in the general structure of the world. +And the range which is allowed to its structure by +the totality of elementary propositions is exactly +that which the completely general propositions +delimit. + +(If an elementary proposition is true, then, at +any rate, there is one \emph{more} elementary proposition +true.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.53} +{Identity of the object I express by identity of +the sign and not by means of a sign of identity. +Difference of the objects by difference of the +signs.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5301} +{That identity is not a relation between objects is +obvious. This becomes very clear if, for example, +one considers the proposition ``$(x) : fx \DotOp \Implies \DotOp x = a$''. +What this proposition says is simply that \emph{only} +$a$ satisfies the function $f$, and not that only such +things satisfy the function $f$ which have a certain +relation to $a$. + +One could of course say that in fact \emph{only} +$a$ has this relation to $a$, but in order to express +this we should need the sign of identity itself.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5302} +{Russell's definition of ``='' won't do; because +according to it one cannot say that two objects +have all their properties in common. (Even if +this proposition is never true, it is nevertheless +\emph{significant}.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5303} +{Roughly speaking: to say of \emph{two} things that +they are identical is nonsense, and to say of \emph{one} +thing that it is identical with itself is to say +nothing.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.531} +{I write therefore not ``$f(a,b) \DotOp a = b$'', but ``$f(a,a)$'' +(or ``$f(b,b)$''). And not ``$f(a,b) \DotOp \Not{a} = b$'', but +``$f(a,b)$''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.532} +{And analogously: not ``$(\exists x,y) \DotOp f(x,y) \DotOp x = y$'', +but ``$(\exists x) \DotOp f(x,x)$''; and not ``$(\exists x,y) \DotOp f(x,y) \DotOp +\Not{x} = y$'', but ``$(\exists x,y) \DotOp f(x,y)$''. + +(Therefore instead of Russell's ``$(\exists x,y) \DotOp f(x,y)$'': +``$(\exists x,y) \DotOp f(x,y) \DotOp \lor \DotOp (\exists x) \DotOp f(x,x)$''.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5321} +{Instead of ``$(x) : fx \Implies x = a$'' we therefore write +\exempliGratia\ ``$(\exists x) \DotOp fx \DotOp \Implies \DotOp fa : \Not{(\exists x,y) \DotOp fx \DotOp fy}$''. + +And the proposition ``\emph{only} one $x$ satisfies $f()$'' +reads: ``$(\exists x) \DotOp fx : \Not{(\exists x,y) \DotOp fx \DotOp fy}$''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.533} +{The identity sign is therefore not an essential +constituent of logical notation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.534} +{And we see that apparent propositions like: +``$a = a$'', ``$a = b \DotOp b = c \DotOp \Implies a = c$'', ``$(x) \DotOp x = x$'', ``$(\exists x) \DotOp +x = a$'', etc.\ cannot be written in a correct logical +notation at all.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.535} +{So all problems disappear which are connected +with such pseu\-do-prop\-o\-si\-tions. + +This is the place to solve all the problems which +arise through Russell's ``Axiom of Infinity''. + +What the axiom of infinity is meant to say +would be expressed in language by the fact that +there is an infinite number of names with different +meanings.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5351} +{There are certain cases in which one is tempted +to use expressions of the form ``$a = a$'' or ``$p \Implies p$'' +and of that kind. And indeed this takes place +when one would like to speak of the archetype +Proposition, Thing, etc. So Russell in the \BookTitle{Principles +of Mathematics} has rendered the nonsense ``$p$ +is a proposition'' in symbols by ``$p \Implies p$'' and has +put it as hypothesis before certain propositions to +show that their places for arguments could only +be occupied by propositions. + +(It is nonsense to place the hypothesis $p \Implies p$ +before a proposition in order to ensure that its +arguments have the right form, because the +hypothesis for a non-proposition as argument +becomes not false but meaningless, and because +the proposition itself becomes senseless for arguments +of the wrong kind, and therefore it survives +the wrong arguments no better and no worse +than the senseless hypothesis attached for this +purpose.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5352} +{Similarly it was proposed to express ``There are +no things'' by ``$\Not{(\exists x) \DotOp x = x}$''. But even if this +were a proposition---would it not be true if indeed +``There were things'', but these were not identical +with themselves?} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.54} +{In the general propositional form, propositions +occur in a proposition only as bases of the truth-operations.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.541} +{At first sight it appears as if there were also a +different way in which one proposition could occur +in another. + +Especially in certain propositional forms of +psychology, like ``A thinks, that $p$ is the case'', +or ``A thinks $p$'', etc. + +Here it appears superficially as if the proposition +$p$ stood to the object A in a kind of relation. + +(And in modern \DPtypo{epistomology}{epistemology} (Russell, Moore, +etc.) those propositions have been conceived in +this way.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.542} +{But it is clear that ``A believes that $p$'', ``A +thinks $p$'', ``A says $p$'', are of the form ```$p$' says +$p$'': and here we have no co-ordination of a fact +and an object, but a co-ordination of facts by +means of a co-ordination of their objects.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5421} +{This shows that there is no such thing as the +soul---the subject, etc.---as it is conceived in contemporary +superficial psychology. + +A composite soul would not be a soul any +longer.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5422} +{The correct explanation of the form of the +proposition ``A judges $p$'' must show that it is +impossible to judge a nonsense. (Russell's theory +does not satisfy this condition.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5423} +{To perceive a complex means to perceive that +its constituents are combined in such and such a +way. + +This perhaps explains that the figure +\Illustration{cube} +can be seen in two ways as a cube; and all similar +phenomena. For we really see two different facts. + +(If I fix my eyes first on the corners $a$ and only +glance at $b$, $a$ appears in front and $b$ behind, and +vice versa.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.55} +{We must now answer a priori the question +as to all possible forms of the elementary propositions. + +The elementary proposition consists of names. +Since we cannot give the number of names with +different meanings, we cannot give the composition +of the elementary proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.551} +{Our fundamental principle is that every question +which can be decided at all by logic can be decided +without further trouble. + +(And if we get into a situation where we need +to answer such a problem by looking at the world, +this shows that we are on a fundamentally wrong +track.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.552} +{The ``experience'' which we need to understand +logic is not that such and such is the +case, but that something \emph{is}; but that is \emph{no} experience. + +Logic \emph{precedes} every experience---that something +is \emph{so}. + +It is before the How, not before the What.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5521} +{And if this were not the case, how could +we apply logic? We could say: if there +were a logic, even if there were no world, +how then could there be a logic, since there is a +world?} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.553} +{Russell said that there were simple relations +between different numbers of things (individuals). +But between what numbers? And how should +this be decided---by experience? + +(There is no pre-eminent number.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.554} +{The enumeration of any special forms would +be entirely arbitrary.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5541} +{It should be possible to decide a priori whether, +for example, I can get into a situation in which +I need to symbolize with a sign of a 27-termed +relation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5542} +{May we then ask this at all? Can we set out +a sign form and not know whether anything can +correspond to it? + +Has the question sense: what must \emph{be} in order +that something can be the case?} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.555} +{It is clear that we have a concept of the +elementary proposition apart from its special +logical form. + +Where, however, we can build symbols +according to a system, there this system is the +logically important thing and not the single +symbols. + +And how would it be possible that I should +have to deal with forms in logic which I can +invent: but I must have to deal with that which +makes it possible for me to invent them.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.556} +{There cannot be a hierarchy of the forms of the +elementary propositions. Only that which we +ourselves construct can we foresee.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5561} +{Empirical reality is limited by the totality of +objects. The boundary appears again in the +totality of elementary propositions. + +The hierarchies are and must be independent +of reality.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5562} +{If we know on purely logical grounds, that +there must be elementary propositions, then this +must be known by everyone who understands the +propositions in their unanalysed form.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5563} +{All propositions of our colloquial language are +actually, just as they are, logically completely in +order. That most simple thing which we ought to +give here is not a simile of truth but the complete +truth itself. + +(Our problems are not abstract but perhaps the +most concrete that there are.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.557} +{The \emph{application} of logic decides what elementary +propositions there are. + +What lies in the application logic cannot +anticipate. + +It is clear that logic may not collide with its +application. + +But logic must have contact with its application. + +Therefore logic and its application may not +overlap one another.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.5571} +{If I cannot give elementary propositions a +priori then it must lead to obvious nonsense to +try to give them.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.6} +{\emph{The limits of my language} mean the limits of my +world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.61} +{Logic fills the world: the limits of the world +are also its limits. + +We cannot therefore say in logic: This and +this there is in the world, that there is not. + +For that would apparently presuppose that we +exclude certain possibilities, and this cannot be +the case since otherwise logic must get outside +the limits of the world: that is, if it could +consider these limits from the other side +also. + +What we cannot think, that we cannot think: +we cannot therefore \emph{say} what we cannot +think.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.62} +{This remark provides a key to the question, to +what extent solipsism is a truth. + +In fact what solipsism \emph{means}, is quite correct, +only it cannot be \emph{said}, but it shows itself. + +That the world is \emph{my} world, shows itself in the +fact that the limits of the language (the language +which only I understand) mean the limits of \emph{my} +world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.621} +{The world and life are one.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.63} +{I am my world. (The microcosm.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.631} +{The thinking, presenting subject; there is no +such thing. + +If I wrote a book ``The world as I found it'', +I should also have therein to report on my body +and say which members obey my will and which +do not, etc. This then would be a method of +isolating the subject or rather of showing that in +an important sense there is no subject: that is to +say, of it alone in this book mention could \emph{not} be +made.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.632} +{The subject does not belong to the world but +it is a limit of the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.633} +{\emph{Where in} the world is a metaphysical subject to +be noted? + +You say that this case is altogether like that of +the eye and the field of sight. But you do \emph{not} +really see the eye. + +And from nothing \emph{in the field of sight} can it be +concluded that it is seen from an eye.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.6331} +{For the field of sight has not a form like this: +\Illustration{sight-en} +} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.634} +{This is connected with the fact that no part of +our experience is also a priori. + +Everything we see could also be otherwise. + +Everything we can describe at all could also be +otherwise. + +There is no order of things a priori.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.64} +{Here we see that solipsism strictly carried out +coincides with pure realism. The I in solipsism +shrinks to an extensionless point and there remains +the reality co-ordinated with it.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{5.641} +{There is therefore really a sense in which in +philosophy we can talk of a non-psy\-cho\-log\-i\-cal I. + +The I occurs in philosophy through the fact +that the ``world is my world''. + +The philosophical I is not the man, not the +human body or the human soul of which psychology +treats, but the metaphysical subject, the +limit---not a part of the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6} +{The general form of truth-function is: +$[\overline{p}, \overline{\xi}, N(\overline{\xi})]$. + +This is the general form of proposition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.001} +{This says nothing else than that every proposition +is the result of successive applications +of the operation $N'(\overline{\xi})$ to the elementary propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.002} +{If we are given the general form of the way in +which a proposition is constructed, then thereby +we are also given the general form of the way in +which by an operation out of one proposition +another can be created.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.01} +{The general form of the operation $\Omega'(\overline{\eta})$ is +therefore: $[\overline{\xi}, N(\overline{\xi})]'${}$(\overline{\eta})$ (= [$\overline{\eta}$, $\overline{\xi}$, $N(\overline{\xi})$]). + +This is the most general form of transition from +one proposition to another.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.02} +{And thus we come to numbers: I define +\begin{gather*} +x = \Omega^{0}{}' x \text{ Def.\ and}\\ +\Omega'\Omega^{\nu}{}'x = \Omega^{\nu+1}{}'x \text{ Def.} +\end{gather*} + +According, then, to these symbolic rules we +write the series $x$, $\Omega'x$, $\Omega'\Omega'x$, $\Omega'\Omega'\Omega'x\fivedots$ +\[ +\text{as: } \Omega^{0}{}'x, \Omega^{0+1}{}'x, \Omega^{0+1+1}{}'x, \Omega^{0+1+1+1}{}'x\fivedots +\] + +Therefore I write in place of ``$[x, \xi, \Omega'\xi]$'', +\[ +``[\Omega^{0}{}'x, \Omega^{\nu}{}'x, \Omega^{\nu+1}{}'x]\text{''.} +\] + +And I define: +\[ +\begin{array}{l}\\ +0 + 1 = 1\text{ Def.}\\ +0 + 1 + 1 = 2\text{ Def.}\\ +0 + 1 + 1 + 1 = 3\text{ Def.}\\ +\text{and so on.} +\end{array} +\]} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.021} +{A number is the exponent of an operation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.022} +{The concept number is nothing else than that +which is common to all numbers, the general form +of number. + +The concept number is the variable number. + +And the concept of equality of numbers is the +general form of all special equalities of numbers.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.03} +{The general form of the cardinal number is: +$[0, \xi, \xi + 1]$.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.031} +{The theory of classes is altogether superfluous +in mathematics. + +This is connected with the fact that the generality +which we need in mathematics is not the +\emph{accidental} one.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1} +{The propositions of logic are tautologies.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.11} +{The propositions of logic therefore say nothing. +(They are the analytical propositions.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.111} +{Theories which make a proposition of logic +appear substantial are always false. One could +\exempliGratia\ believe that the words ``true'' and ``false'' +signify two properties among other properties, +and then it would appear as a remarkable fact +that every proposition possesses one of these +properties. This now by no means appears self-evident, +no more so than the proposition ``All +roses are either yellow or red'' would sound even +if it were true. Indeed our proposition now gets +quite the character of a proposition of natural +science and this is a certain symptom of its being +falsely understood.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.112} +{The correct explanation of logical propositions +must give them a peculiar position among all +propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.113} +{It is the characteristic mark of logical propositions +that one can perceive in the symbol alone +that they are true; and this fact contains in itself +the whole philosophy of logic. And so also it is +one of the most important facts that the truth or +falsehood of non-logical propositions can \emph{not} be +recognized from the propositions alone.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.12} +{The fact that the propositions of logic are +tautologies \emph{shows} the for\-mal---log\-i\-cal---prop\-er\-ties +of language, of the world. + +That its constituent parts connected together \emph{in +this way} give a tautology characterizes the logic of +its constituent parts. + +In order that propositions connected together +in a definite way may give a tautology they +must have definite properties of structure. That +they give a tautology when \emph{so} connected shows +therefore that they possess these properties of +structure.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1201} +{That \exempliGratia\ the propositions ``$p$'' and ``$\Not{p}$'' in +the connexion ``$\Not{(p \DotOp \Not{p})}$'' give a tautology +shows that they contradict one another. That the +propositions ``$p \Implies q$'', ``$p$'' and ``$q$'' connected +together in the form ``$(p \Implies q) \DotOp (p) : \Implies : (q)$'' give a +tautology shows that $q$ follows from $p$ and $p \Implies q$. +That ``$(x) \DotOp fx : \Implies : fa$'' is a tautology shows that +$fa$ follows from $(x) \DotOp fx$, etc.\ etc.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1202} +{It is clear that we could have used for this +purpose contradictions instead of tautologies.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1203} +{In order to recognize a tautology as such, we +can, in cases in which no sign of generality occurs +in the tautology, make use of the following intuitive +method: I write instead of ``$p$'', ``$q$'', ``$r$'', etc., +``$TpF$'', ``$TqF$'', ``$TrF$'', etc. The truth-combinations +I express by brackets, \exempliGratia: +\Illustration[0.35\textwidth]{brackets01-en} +and the co-ordination of the truth or falsity of the +whole proposition with the truth-combinations of +the truth-arguments by lines in the following way: +\Illustration[0.4\textwidth]{brackets02-en} +This sign, for example, would therefore present +the proposition $p \Implies q$. Now I will proceed +to inquire whether such a proposition as $\Not{(p \DotOp \Not{p})}$ +(The Law of Contradiction) is a tautology. The +form ``$\Not{\xi}$'' is written in our notation +\Illustration[0.1\textwidth]{brackets03-en} +the form ``$\xi \DotOp \eta$'' thus:--- +\Illustration[0.4\textwidth]{brackets04-en} + +Hence the proposition $\Not{(p \DotOp \Not{q})}$ runs thus:--- +\Illustration[0.3\textwidth]{brackets05-en} + +If here we put ``$p$'' instead of ``$q$'' and examine +the combination of the outermost T and F with the +innermost, it is seen that the truth of the whole +proposition is co-ordinated with \emph{all} the truth-combinations +of its argument, its falsity with none of +the truth-combinations.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.121} +{The propositions of logic demonstrate the logical +properties of propositions, by combining them into +propositions which say nothing. + +This method could be called a zero-method. In +a logical proposition propositions are brought into +equilibrium with one another, and the state of +equilibrium then shows how these propositions +must be logically constructed.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.122} +{Whence it follows that we can get on without +logical propositions, for we can recognize in an +adequate notation the formal properties of the propositions +by mere inspection.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1221} +{If for example two propositions ``$p$'' and ``$q$'' +give a tautology in the connexion ``$p \Implies q$'', then +it is clear that $q$ follows from $p$. + +\ExempliGratia\ that ``$q$'' follows from ``$p \Implies q \DotOp p$'' we see from +these two propositions themselves, but we can also +show it by combining them to ``$p \Implies q \DotOp p : \Implies : q$'' and +then showing that this is a tautology.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1222} +{This throws light on the question why logical +propositions can no more be empirically established +than they can be empirically refuted. Not only +must a proposition of logic be incapable of being +contradicted by any possible experience, but it +must also be incapable of being established by any +such.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1223} +{It now becomes clear why we often feel as though +``logical truths'' must be ``\emph{postulated}'' by us. We +can in fact postulate them in so far as we can +postulate an adequate notation.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1224} +{It also becomes clear why logic has been called +the theory of forms and of inference.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.123} +{It is clear that the laws of logic cannot themselves +obey further logical laws. + +(There is not, as Russell supposed, for every +``type'' a special law of contradiction; but one is +sufficient, since it is not applied to itself.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1231} +{The mark of logical propositions is not their +general validity. + +To be general is only to be accidentally valid +for all things. An ungeneralized proposition can +be tautologous just as well as a generalized +one.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1232} +{Logical general validity, we could call essential +as opposed to accidental general validity, \exempliGratia\ of the +proposition ``all men are mortal''. Propositions +like Russell's ``axiom of reducibility'' are not +logical propositions, and this explains our feeling +that, if true, they can only be true by a happy +chance.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1233} +{We can imagine a world in which the axiom of +reducibility is not valid. But it is clear that logic +has nothing to do with the question whether our +world is really of this kind or not.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.124} +{The logical propositions describe the scaffolding +of the world, or rather they present it. They +``treat'' of nothing. They presuppose that names +have meaning, and that elementary propositions +have sense. And this is their connexion with the +world. It is clear that it must show something +about the world that certain combinations of symbols---which +essentially have a definite character---are +tautologies. Herein lies the decisive point. We +said that in the symbols which we use much is +arbitrary, much not. In logic only this expresses: +but this means that in logic it is not \emph{we} who express, +by means of signs, what we want, but in logic the +nature of the essentially necessary signs itself +asserts. That is to say, if we know the logical +syntax of any sign language, then all the propositions +of logic are already given.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.125} +{It is possible, even in the old logic, to give +at the outset a description of all ``true'' logical +propositions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1251} +{Hence there can \emph{never} be surprises in logic.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.126} +{Whether a proposition belongs to logic can be +determined by determining the logical properties +of the \emph{symbol}. + +And this we do when we prove a logical proposition. +For without troubling ourselves about +a sense and a meaning, we form the logical +propositions out of others by mere \emph{symbolic +rules}. + +We prove a logical proposition by creating it +out of other logical propositions by applying in +succession certain operations, which again generate +tautologies out of the first. (And from a tautology +only tautologies \emph{follow}.) + +Naturally this way of showing that its propositions +are tautologies is quite unessential to +logic. Because the propositions, from which the +proof starts, must show without proof that they +are tautologies.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1261} +{In logic process and result are equivalent. +(Therefore no surprises.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1262} +{Proof in logic is only a mechanical expedient +to facilitate the recognition of tautology, where +it is complicated.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1263} +{It would be too remarkable, if one could prove +a significant proposition \emph{logically} from another, and +a logical proposition \emph{also}. It is clear from the +beginning that the logical proof of a significant +proposition and the proof \emph{in} logic must be two +quite different things.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1264} +{The significant proposition asserts something, +and its proof shows that it is so; in logic every +proposition is the form of a proof. + +Every proposition of logic is a modus ponens +presented in signs. (And the modus ponens can +not be expressed by a proposition.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1265} +{Logic can always be conceived to be such that +every proposition is its own proof.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.127} +{All propositions of logic are of equal rank; +there are not some which are essentially primitive +and others deduced from these. + +Every tautology itself shows that it is a +tautology.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.1271} +{It is clear that the number of ``primitive propositions +of logic'' is arbitrary, for we could deduce +logic from one primitive proposition by simply +forming, for example, the logical product of Frege's +primitive propositions. (Frege would perhaps say +that this would no longer be immediately self-evident. +But it is remarkable that so exact a +thinker as Frege should have appealed to the +degree of self-evidence as the criterion of a +logical proposition.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.13} +{Logic is not a theory but a reflexion of the +world. + +Logic is transcendental.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.2} +{Mathematics is a logical method. + +The propositions of mathematics are equations, +and therefore pseudo-prop\-o\-si\-tions.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.21} +{Mathematical propositions express no thoughts.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.211} +{In life it is never a mathematical proposition +which we need, but we use mathematical propositions +\emph{only} in order to infer from propositions +which do not belong to mathematics to others +which equally do not belong to mathematics. + +(In philosophy the question ``Why do we really +use that word, that proposition?'' constantly leads +to valuable results.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.22} +{The logic of the world which the propositions +of logic show in tautologies, mathematics shows +in equations.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.23} +{If two expressions are connected by the sign of +equality, this means that they can be substituted +for one another. But whether this is the case +must show itself in the two expressions themselves. + +It characterizes the logical form of two expressions, +that they can be substituted for one +another.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.231} +{It is a property of affirmation that it can be +conceived as double denial. + +It is a property of ``$1 + 1 + 1 + 1$'' that it can be +conceived as ``$(1 + 1) + (1 + 1)$''.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.232} +{Frege says that these expressions have the same +meaning but different senses. + +But what is essential about equation is that it +is not necessary in order to show that both expressions, +which are connected by the sign of +equality, have the same meaning: for this can be +perceived from the two expressions themselves.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.2321} +{And, that the propositions of mathematics can +be proved means nothing else than that their +correctness can be seen without our having to +compare what they express with the facts as regards +correctness.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.2322} +{The identity of the meaning of two expressions +cannot be \emph{asserted}. For in order to be able to +assert anything about their meaning, I must know +their meaning, and if I know their meaning, I +know whether they mean the same or something +different.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.2323} +{The equation characterizes only the standpoint +from which I consider the two expressions, that +is to say the standpoint of their equality of +meaning.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.233} +{To the question whether we need intuition for +the solution of mathematical problems it must be +answered that language itself here supplies the +necessary intuition.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.2331} +{The process of calculation brings about just +this intuition. + +Calculation is not an experiment.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.234} +{Mathematics is a method of logic.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.2341} +{The essential of mathematical method is working +with equations. On this method depends the +fact that every proposition of mathematics must +be self-intelligible.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.24} +{The method by which mathematics arrives at +its equations is the method of substitution. + +For equations express the substitutability of +two expressions, and we proceed from a number +of equations to new equations, replacing expressions +by others in accordance with the +equations.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.241} +{Thus the proof of the proposition $2 \times 2 = 4$ runs: +\begin{gather*} +(\Omega^{\nu})^{\mu}{}'x = \Omega^{\nu \times \mu}{}'x \text{ Def.}\\ +\begin{split} +\Omega^{2 \times 2}{}'x = (\Omega^{2})^{2}{}'x = (\Omega^{2})^{1 + 1}{}'x = \Omega^{2}{}'\Omega^{2}{}'x = \Omega^{1 + 1}{}'\Omega^{1 + 1}{}'x\\ += (\Omega'\Omega)'(\Omega'\Omega)'x = \Omega'\Omega'\Omega'\Omega'x = \Omega^{1 + 1 + 1 + 1}{}'x = \Omega^{4}{}'x. +\end{split} +\end{gather*}} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.3} +{Logical research means the investigation of \emph{all +regularity}. And outside logic all is accident.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.31} +{The so-called law of induction cannot in any +case be a logical law, for it is obviously a significant +proposition.---And therefore it cannot be +a law a priori either.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.32} +{The law of causality is not a law but the form +of a law.\footnoteB{\IdEst\ not the form of one particular law, but of any law of a certain +sort (B.\;R.).}} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.321} +{``Law of Causality'' is a class name. And as +in mechanics there are, for instance, minimum-laws, +such as that of least action, so in physics +there are causal laws, laws of the causality +form.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.3211} +{Men had indeed an idea that there must be +\emph{a} ``law of least action'', before they knew +exactly how it ran. (Here, as always, the a +priori certain proves to be something purely +logical.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.33} +{We do not \emph{believe} a priori in a law of conservation, +but we \emph{know} a priori the possibility of +a logical form.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.34} +{All propositions, such as the law of causation, +the law of continuity in nature, the law of least +expenditure in nature, etc.\ etc., all these are +a priori intuitions of possible forms of the propositions +of science.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.341} +{Newtonian mechanics, for example, brings the +description of the universe to a unified form. +Let us imagine a white surface with irregular +black spots. We now say: Whatever kind of +picture these make I can always get as near as +I like to its description, if I cover the surface +with a sufficiently fine square network and now +say of every square that it is white or black. +In this way I shall have brought the description +of the surface to a unified form. This form is +arbitrary, because I could have applied with equal +success a net with a triangular or hexagonal +mesh. It can happen that the description would +have been simpler with the aid of a triangular +mesh; that is to say we might have described +the surface more accurately with a triangular, +and coarser, than with the finer square mesh, or +vice versa, and so on. To the different networks +correspond different systems of describing the +world. Mechanics determine a form of description +by saying: All propositions in the description +of the world must be obtained in a given +way from a number of given propositions---the +mechanical axioms. It thus provides the bricks +for building the edifice of science, and says: +Whatever building thou wouldst erect, thou shalt +construct it in some manner with these bricks +and these alone. + +(As with the system of numbers one must be +able to write down any arbitrary number, so +with the system of mechanics one must be able +to write down any arbitrary physical proposition.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.342} +{And now we see the relative position of logic +and mechanics. (We could construct the network +out of figures of different kinds, as out of +triangles and hexagons together.) That a picture +like that instanced above can be described by a +network of a given form asserts \emph{nothing} about +the picture. (For this holds of every picture of +this kind.) But \emph{this} does characterize the picture, +the fact, namely, that it can be \emph{completely} described +by a definite net of \emph{definite} fineness. + +So too the fact that it can be described by +Newtonian mechanics asserts nothing about the +world; but \emph{this} asserts something, namely, that +it can be described in that particular way in which +it is described, as is indeed the case. The fact, +too, that it can be described more simply by one +system of mechanics than by another says something +about the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.343} +{Mechanics is an attempt to construct according +to a single plan all \emph{true} propositions which we +need for the description of the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.3431} +{Through the whole apparatus of logic the +physical laws still speak of the objects of the +world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.3432} +{We must not forget that the description of the +world by mechanics is always quite general. +There is, for example, never any mention of +\emph{particular} material points in it, but always only +of \emph{some points or other}.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.35} +{Although the spots in our picture are geometrical +figures, geometry can obviously say nothing +about their actual form and position. But the +network is \emph{purely} geometrical, and all its properties +can be given a priori. + +Laws, like the law of causation, etc., treat +of the network and not of what the network +described.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.36} +{If there were a law of causality, it might run: +``There are natural laws''. + +But that can clearly not be said: it shows +itself.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.361} +{In the terminology of Hertz we might say: +Only \emph{uniform} connexions are \emph{thinkable}.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.3611} +{We cannot compare any process with the +``passage of time''---there is no such thing---but +only with another process (say, with the movement +of the chronometer). + +Hence the description of the temporal sequence +of events is only possible if we support ourselves +on another process. + +It is exactly analogous for space. When, for +example, we say that neither of two events (which +mutually exclude one another) can occur, because +there is \emph{no cause} why the one should occur rather +than the other, it is really a matter of our being +unable to describe \emph{one} of the two events unless +there is some sort of asymmetry. And if there \emph{is} +such an asymmetry, we can regard this as the +\emph{cause} of the occurrence of the one and of the non-occurrence +of the other.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.36111} +{The Kantian problem of the right and left hand +which cannot be made to cover one another already +exists in the plane, and even in one-di\-men\-sio\-nal +space; where the two congruent figures $a$ and $b$ +cannot be made to cover one another without +moving them out of this space. The right and +left hand are in fact completely congruent. And +the fact that they cannot be made to cover one +another has nothing to do with it. +\Illustration[0.45\textwidth]{space} + +A right-hand glove could be put on a left hand +if it could be turned round in four-dimensional +space.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.362} +{What can be described can happen too, and +what is excluded by the law of causality cannot be +described.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.363} +{The process of induction is the process of +assuming the \emph{simplest} law that can be made to +harmonize with our experience.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.3631} +{This process, however, has no logical foundation +but only a psychological one. + +It is clear that there are no grounds for believing +that the simplest course of events will really +happen.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.36311} +{That the sun will rise to-morrow, is an hypothesis; +and that means that we do not \emph{know} whether +it will rise.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.37} +{A necessity for one thing to happen because +another has happened does not exist. There is +only \emph{logical} necessity.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.371} +{At the basis of the whole modern view of +the world lies the illusion that the so-called +laws of nature are the explanations of natural +phenomena.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.372} +{So people stop short at natural laws as at something +unassailable, as did the ancients at God +and Fate. + +And they both are right and wrong. But the +ancients were clearer, in so far as they recognized +one clear conclusion, whereas in the modern +system it should appear as though \emph{everything} were +explained.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.373} +{The world is independent of my will.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.374} +{Even if everything we wished were to happen, +this would only be, so to speak, a favour of +fate, for there is no \emph{logical} connexion between will +and world, which would guarantee this, and the +assumed physical connexion itself we could not +again will.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.375} +{As there is only a \emph{logical} necessity, so there is +only a \emph{logical} impossibility.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.3751} +{For two colours, \exempliGratia\ to be at one place in the +visual field, is impossible, logically impossible, +for it is excluded by the logical structure of +colour. + +Let us consider how this contradiction presents +itself in physics. Somewhat as follows: That a +particle cannot at the same time have two velocities, +\idEst\ that at the same time it cannot be in +two places, \idEst\ that particles in different places +at the same time cannot be identical. + +(It is clear that the logical product of two +elementary propositions can neither be a tautology +nor a contradiction. The assertion that a point +in the visual field has two different colours at the +same time, is a contradiction.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.4} +{All propositions are of equal value.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.41} +{The sense of the world must lie outside the +world. In the world everything is as it is and +happens as it does happen. \emph{In} it there is no value---and +if there were, it would be of no value. + +If there is a value which is of value, it must +lie outside all happening and being-so. For all +happening and being-so is accidental. + +What makes it non-accidental cannot lie \emph{in} +the world, for otherwise this would again be accidental. + +It must lie outside the world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.42} +{Hence also there can be no ethical propositions. + +Propositions cannot express anything higher.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.421} +{It is clear that ethics cannot be expressed. + +Ethics are transcendental. + +(Ethics and æsthetics are one.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.422} +{The first thought in setting up an ethical law +of the form ``thou shalt\;\ldots'' is: And what +if I do not do it. But it is clear that ethics has +nothing to do with punishment and reward in the +ordinary sense. This question as to the \emph{consequences} +of an action must therefore be irrelevant. +At least these consequences will not be events. +For there must be something right in that formulation +of the question. There must be some sort +of ethical reward and ethical punishment, but this +must lie in the action itself. + +(And this is clear also that the reward must be +something acceptable, and the punishment something +unacceptable.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.423} +{Of the will as the bearer of the ethical we cannot +speak. + +And the will as a phenomenon is only of interest +to psychology.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.43} +{If good or bad willing changes the world, it +can only change the limits of the world, not the +facts; not the things that can be expressed in +language. + +In brief, the world must thereby become quite +another. It must so to speak wax or wane as a +whole. + +The world of the happy is quite another than +that of the unhappy.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.431} +{As in death, too, the world does not change, +but ceases.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.4311} +{Death is not an event of life. Death is not lived +through. + +If by eternity is understood not endless temporal +duration but timelessness, then he lives eternally +who lives in the present. + +Our life is endless in the way that our visual +field is without limit.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.4312} +{The temporal immortality of the soul of man, +that is to say, its eternal survival also after +death, is not only in no way guaranteed, but +this assumption in the first place will not do +for us what we always tried to make it do. +Is a riddle solved by the fact that I survive for +ever? Is this eternal life not as enigmatic as +our present one? The solution of the riddle of +life in space and time lies \emph{outside} space and +time. + +(It is not problems of natural science which have +to be solved.)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.432} +{\emph{How} the world is, is completely indifferent for +what is higher. God does not reveal himself \emph{in} the +world.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.4321} +{The facts all belong only to the task and not to +its performance.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.44} +{Not \emph{how} the world is, is the mystical, but \emph{that} +it is.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.45} +{The contemplation of the world sub specie aeterni +is its contemplation as a limited whole. + +The feeling of the world as a limited whole is +the mystical feeling.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.5} +{For an answer which cannot be expressed the +question too cannot be expressed. + +\emph{The riddle} does not exist. + +If a question can be put at all, then it \emph{can} also +be answered.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.51} +{Scepticism is \emph{not} irrefutable, but palpably senseless, +if it would doubt where a question cannot be +asked. + +For doubt can only exist where there is a +question; a question only where there is an answer, +and this only where something \emph{can} be \emph{said}.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.52} +{We feel that even if \emph{all possible} scientific +questions be answered, the problems of life have +still not been touched at all. Of course there is +then no question left, and just this is the +answer.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.521} +{The solution of the problem of life is seen in the +vanishing of this problem. + +(Is not this the reason why men to whom +after long doubting the sense of life became +clear, could not then say wherein this sense +consisted?)} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.522} +{There is indeed the inexpressible. This \emph{shows} +itself; it is the mystical.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.53} +{The right method of philosophy would be this. +To say nothing except what can be said, \idEst\ the +propositions of natural science, \idEst\ something that +has nothing to do with philosophy: and then +always, when someone else wished to say something +metaphysical, to demonstrate to him that he +had given no meaning to certain signs in his +propositions. This method would be unsatisfying +to the other---he would not have the feeling that +we were teaching him philosophy---but it would be +the only strictly correct method.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{6.54} +{My propositions are elucidatory in this way: +he who understands me finally recognizes them as +senseless, when he has climbed out through them, +on them, over them. (He must so to speak throw +away the ladder, after he has climbed up on it.) + +He must surmount these propositions; then he +sees the world rightly.} +\pend + +\pstart +\PropositionE{7} +{Whereof one cannot speak, thereof one must be +silent.} +\pend + +\endnumbering +\end{Rightside} + +\end{pages} +\Pages + +\end{document} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: t +%%% End: